Question

請觀察下列算式，找出規律并填空.

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

4×5

=

1

4

-

1

5

（1）則第10個算式是

1

10×11

=

1

10

-

1

11

，
（2）第n個算式為：

1

n×(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
（3）根據以上規律解答下題：
若有理數a，b滿足a=1，b=3，試求

1

ab

+

1

(a+2)(b+2)

+

1

(a+4)(b+4)

+…+

1

(a+100)(b+100)

的值．

Answer 1

分析：（1）（2）根據特例，分母為兩個自然數的乘積，這個分數可以拆成兩個分數相減的形式；
（3）把a=1，b=3代入算式，即

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

101×103

，然后把每個分數拆成兩個分數相減的形式，然后通過加減相互抵消，得出結果．

解答：解：（1）

1

10×11

=

1

10

-

1

11

；

（2）

1

n×(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；

（3）

1

ab

+

1

(a+2)(b+2)

+

1

(a+4)(b+4)

+…+

1

(a+100)(b+100)

，
=

1

1×3

+

1

(1+2)×(3+2)

+

1

(1+4)×(3+4)

+…+

1

(1+100)×(3+100)

，
=

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

101×103

，
=

1

2

×[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

101

-

1

103

）]，
=

1

2

×[1-

1

103

]，
=

1

2

×

102

103

，
=

51

103

；
故答案為：

1

10×11

，

1

10

-

1

11

，

1

n×(n+1)

，

1

n

-

1

n+1

．

點評：通過分數的拆分計算的題目，使拆分后的分數能夠通過加減相互抵消，達到簡算的目的．