Question

【題目】（4分）請找出所有的三位數(shù)，使它除以7、11、13的余數(shù)之和盡可能大．

Answer 1

【答案】三位數(shù)285、636除以7、11、13的余數(shù)之和最大．

【解析】

試題分析：根據(jù)題意，要使余數(shù)之和最大，三個余數(shù)只能分別為 6、10、12，那么這個三位數(shù)加上1就能同時被7、11、13整除，所以所求的三位數(shù)為7、11、13的公倍數(shù)減去1，則它最小是：7×11×13﹣1=1000，它是一個四位數(shù)，不符合題意，因此，余數(shù)之和最大時，三個余數(shù)分別為 5、10、12 或6、9、12或6、10、11；然后分類討論，求出滿足題意的三位數(shù)即可．

解：根據(jù)題意，要使余數(shù)之和最大，三個余數(shù)只能分別為 6、10、12，

那么這個三位數(shù)加上1就能同時被7、11、13整除，

所以所求的三位數(shù)為7、11、13的公倍數(shù)減去1，

則它最小是：7×11×13﹣1=1000，它是一個四位數(shù)，不符合題意，

因此，余數(shù)之和最大時，三個余數(shù)分別為 5、10、12 或6、9、12或6、10、11；

（1）當(dāng)三個余數(shù)分別為5、10、12時，則這個數(shù)加1后能被11、13整除，且它被7除后余5，

所以所求的三位數(shù)為：11×13k﹣1，它被7除的余數(shù)為：3k﹣1=5，解得k=2，

所以這個三位數(shù)是：11×13×2﹣1=285；

（2）當(dāng)三個余數(shù)分別為6、9、12時，則這個數(shù)加1后能被7、13 整除，且它被11除后余9，

所以所求的三位數(shù)為：7×13k﹣1，它被11除的余數(shù)為3k﹣1=9+11，解得k=7，

所以這個三位數(shù)是：7×13×7﹣1=636；

（3）當(dāng)三個余數(shù)分別為6、10、11，則這個數(shù)加1后能被 7、11整除，且它被13除后余11，

所以所求的三位數(shù)為：7×11k﹣1，它被13除的余數(shù)為：12k﹣1=11，解得k=1，

所以這個數(shù)是：7×11﹣1=76，它是一個兩位數(shù)，不符合題意；

綜上，三位數(shù)285、636除以7、11、13的余數(shù)之和最大．