Question

【題目】探索：

如圖，外層正方形邊長是5，往里第二、三、四、五層各小正方形邊長依次是4、3、2、1，觀察圖形，完成下列問題；

(1)判斷大小關系：13+23+33+43+53________ （1+2+3+4+5）2；

(2)結合圖形，證明你（1）中的判斷．

猜想：

13+23+33+…+n3=________ ．

Answer 1

【答案】（1）=

（2）（1+2+3+…+n）2

【解析】解：（1）13+23+33+43+53=1+8+27+64+125=225；

（1+2+3+4+5）2=152=225；

所以13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2 ．

（2）結合圖形：大正方形的面積等于所有小正方形的面積之和為：

52×20+42×16+32×12+22×8+12×4，

=52×5×4+42×4×4+32×3×4+22×2×4+12×1×4，

=53×4+43×4+33×4+23×4+13×4，

=（53+43+33+23+13）×4；

同時，大正方形的邊長為：（1+2+3+4+5）×2，

所以面積為：

[1+2+3+4+5）×2]×[1+2+3+4+5）×2]，

=[（1+2+3+4+5）×2]2

=（1+2+3+4+5）2×22 ，

=（1+2+3+4+5）2×4；

所以：（53+43+33+23+13）×4=（1+2+3+4+5）2×4；

即：13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2 ．

（3）由以上結論猜想得出：

13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2 ．

故答案為：（1）=；猜想：（1+2+3+…+n）2 ．