Question

在如圖中，有六個不同的正方形，把1-9九個自然數填入九個○內，使每個正方形的四個頂點上的和相等．

Answer 1

分析：為了敘述方便，我們將各個圓圈內填入字母，如下圖所示．如果設每個正方形角上四個數字之和為S，那么圖中六個正方形可得到：

　　a₁+a₂+b₁+b₂=S，a₂+b₂+a₃+b₃=S，
　　b₁+b₂+c₁+b₂=S，a₂+b₃+b₂+b₁=S，
　　b₂+b₂+b₃+c₃=S，a₁+a₃+c₃+c₁=S．
　　將上面的六個等式相加可得到：
　　2（a₁+a₃+c₃+c₁）+3（a₂+b₃+b₂+b₁）+4b₂=6S．則4b₂=S
　　4（a₁+a₃+c₃+c₁）+4（a₂+b₃+b₂+b₁）+4b₂=9S．
　　于是有：
　　4（a₁+a₂+a₃+b₁+b₂+b₃+c₁+b₂+c₃）=4×45=9S．
　　9S=4×45
　　S=20．
　　這就說明每個正方形角上四個數字之和為20．
　　所以：b₂=5．
　　從而得到：a₁+a₂+b₁=a₂+a₃+b₃=15，
　　b₁+c₁+b₂=b₂+c₃+b₃=15．
　　由上面兩式可得：a₁+b₁=a₃+b₃，b₁+c₁=b₃+c₃．
　　如果a₂為奇數，則a₁+b₁和a₃+b₃均為偶數．
　　①若a₁為奇數，a₃為偶數，則b₁為奇數，b₃為偶數．因為a₂+b₃+b₂+b₁=20，所以b₂為偶數，則c₁為偶數，c₃為奇數．但是a₁+a₂+5+b₁=20，而奇數1、3、5、7、9中含有5的任意四個奇數的和不等于20，有矛盾．
　　②若a₁為偶數，a₃為偶數，則b₁也為偶數，b₃也為偶數．因為a₂+b₃+b₂+b₁=20，所以b₂為奇數，則c₁為偶數，c₃為偶數，但1～9中只有4個偶數，有矛盾．
　　③若a₁為奇數，a₃為奇數，則b₁、b₃也為奇數，這樣1～9中有六個奇數，有矛盾．
　　④若a₁為偶數，a₃為奇數，情況與①相同．
　　綜合上述，a₂必為偶數．由對稱性易知：b₂、b₂、b₁也為偶數．因此a₁、a₃、c₃、c₁全為奇數．
　　這樣，就比較容易找到此解．

解答：解：根據題意可得：

點評：本題的關鍵是把中心點的數確定，然后再從奇偶去考慮解答即可．