Question

被稱為人類生活和生產“最忠實的伴侶”的機器人，近幾年來取得飛速發展，引起世人的關注．如圖是機器人科普展示活動中的足球比賽：假設矩形ABCD是機器人踢足球的場地，AB=170cm，AD=80cm，場地內有一小球從B點向A點運動，E是AD的中點，EF與AD垂直，且EF=40cm．機器人從F點出發去截小球，它們同時出發，且小球速度是機器人的2倍．若忽略機器人原地旋轉所需時間，則機器人最快可在何處截住小球？

Answer 1

分析：設機器人最快可在點G處截住小球，點G在線段AB上，設FG為xcm，表示出BG和AG，因為三角形AEF為等腰直角三角形，可得角FAG為45°，在三角形AFG中根據余弦定理求出FG即可．

解答：解：設該機器人最快可在點G處截住小球，點G在線段AB上．
設FG=xcm．根據題意，得BG=2xcm．
則AG=AB-BG=（170-2x）（cm）．
連接AF，在△AEF中，EF=AE=40cm，EF⊥AD，
所以∠EAF=45°，AF=40

2

cm．
于是∠FAG=45°．在△AFG中，由余弦定理，
得FG²=AF²+AG²-2AF?AGcos∠FAG．
所以x²=（40

2

）²+（170-2x）²-2×40

2

×（170-2x）cos45°．
解得x₁=50x₂=

370

3

．
所以AG=170-2x=70（cm），或AG=-

230

3

（cm）（不合題意，舍去）．
答：該機器人最快可在線段AB上離A點70cm處截住小球．

點評：考查學生根據實際問題選擇函數類型的能力，利用余弦定理求邊的能力．