Question

有一個小于2000的四位數(shù)，它恰好含有14個因數(shù)，其中有一個質(zhì)因數(shù)的末位數(shù)字是1，求這個四位數(shù)．

Answer 1

分析：約數(shù)個數(shù)14=2×7=1×14，所以這個四位數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)的積=x⁶×y，或者分解質(zhì)因數(shù)的積=x¹³，因為2¹³=8192，大于2000所以這個不符合題意，則分解質(zhì)因數(shù)的積只能是x⁶×y，據(jù)此討論x、y的取值即可解答問題．

解答：解：根據(jù)題干分析可得：約數(shù)個數(shù)14=2×7（符合題意）=1×14（不符合題意），
所以這個四位數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)的積=x⁶×y，
x不可能是末位為1的質(zhì)因數(shù)（因為末位為1的最小質(zhì)因數(shù)11都使得11⁶＞2000了），
又因為質(zhì)因數(shù)3使得3⁶=729，y取末位為1的最小質(zhì)因數(shù)11，也使3⁶×11=8019＞2000了，
所以x只能是2；
取y=11時，則2⁶×11=704是三位數(shù)，
取y=31時，則2⁶×31=1984，正好是小于2000的四位數(shù)；
而y=41時，則2⁶×41=2624＞2000，所以這個四位數(shù)只能是1984，
答：這個四位數(shù)是1984．

點評：解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)約數(shù)和定理確定出這個四位數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的乘積是x⁶×y，據(jù)此分析x、y的取值即可解答．