Question

8．如圖有一直角三角形，直角邊分別為6cm和8cm，在直角三角形內作一個最大正方形，求正方形的面積．

Answer 1

分析 如下圖所示：在直角三角形ABC內作一個最大正方形DBFE，設正方形的邊長為xcm，則DE=DB=xcm，AD=6-x（cm），由DE∥BC，可得三角形ADE∽三角形ABC，則有$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DE}{BC}$，即$\frac{6-x}{6}$=$\frac{x}{8}$，解得x=$\frac{24}{7}$；再利用正方形的面積公式可求出正方形的面積．

解答 解：在直角三角形ABC內作一個最大正方形DBFE，如上圖所示，
設正方形的邊長為xcm，則DE=DB=xcm，AD=6-x（cm），
因為DE∥BC，
所以三角形ADE∽三角形ABC，
所以$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DE}{BC}$，
即$\frac{6-x}{6}$=$\frac{x}{8}$，
解得x=$\frac{24}{7}$；
所以正方形的邊長為$\frac{24}{7}$cm，
面積為：$\frac{24}{7}$×$\frac{24}{7}$=$\frac{576}{49}$（cm²）．
答：正方形的面積是$\frac{576}{49}$cm²．

點評 本題解決的關鍵是求出直角三角形內最大正方形的邊長，利用相似三角形的性質列出方程解決問題．