Question

許多美麗的圖案都是將圖形按一定的規律排列而成的．現用若干個相等的圓在長方形紙帶上設計圖案，每個圓都經過前一個圓的圓心（如圖所示），若每個圓的周長為8πcm，請你回答下列問題：

（1）若整個圖案需要5個這樣的圓，則至少需要

24

cm長的紙帶；若整個圖案需要x個這樣的圓，則所需的紙帶長至少為

r+rx

cm（用含有x的式子表示）．
（2）要在一個長為105cm的紙帶上設計這樣的圖案，請通過計算說明最多可用多少個圓？
（3）在（2）的條件下，若把前兩個圓的重合部分面積記為S₁，且S₁是其中一個圓面積的

5

16

，求所設計的圖案中相鄰兩圓重合部分面積總和比整個圖案面積少幾分之幾．

Answer 1

分析：（1）根據圓的周長公式C=2πr，得出r=C÷π÷2，求出圓的半徑，從圖中看出所需要的長方形的紙的長是隨著增加的圓的個數變化的，每增加一個圓，紙帶的長就增加一個半徑，若整個圖案需要x個這樣的圓，則所需的紙帶長至少為2r+（x-1）×r=2r+rx-r=r+rx，據此解答；
（2）因為紙帶的長度與圓的個數的關系是r+rx，所以讓r+rx=105，求出x的最大整數解即可；
（3）圖案的面積是每增加一個圓面積就增加（1-

5

16

），用整個圖案面積減去設計的圖案中相鄰兩圓重合部分面積總和再除以整個圖案面積即可．

解答：解：（1）8π÷π÷2=4（厘米）
4×2+4×（5-1）
=8+16
=24（厘米）
若整個圖案需要x個這樣的圓，
所需的紙帶長至少為：2r+（x-1）×r=2r+rx-r=r+rx（厘米），

（2）最多可用x個圓，
rx+r=105
4x+4=105
  4x=101
   x=

101

4

，
所以最多可以用25個圓；
答：最多可用25個圓．

（3）[1+（1-

5

16

）×24-（25-1）×

5

16

]÷[1+（1-

5

16

）×24]，
=（1+9）÷

35

2

=

4

7

答：所設計的圖案中相鄰兩圓重合部分面積總和比整個圖案面積少

4

7

．
故答案為：24，r+rx，25．

點評：關鍵是根據題意找出每增加一個圓，紙帶的長度和圖案的面積發生變化的規律，再由規律解決問題．