Question

小于8且分母為24的最簡分數共有

64

個；這些最簡分數的和是

256

．

Answer 1

分析：根據最簡分數的意義，可知24=2³×3 8×24=192 所有小于192且不能被2、3整除的數為分子則滿足題意，再有不等式的求解找出個數，根據分子的排列方式，利用等差數列求和公式可以求出分子和，然后再求出這些分數的和．

解答：解：24=2³×3
8×24=192 所有小于192且不能被2、3整除的數為分子則滿足題意
也即所有6N+1＜192和6N+5＜192（N為自然數）N的個數總和．
6N+1＜192解得N＜32，也就是小于32的自然數都符合，即32個．
同理可得6N+5＜192解得N＜32，N的個數也是32個．
故：32+32=64（個）
由上面的兩個不等式可知，小于8且分母為24的最簡分數的分子是兩個等差數列組成的，即一個是1，7，13…，另一個是5，11，17…，它們的公差都是6，而且個數都是32個．
由等差公式求和公式可得：32×1+[32×（32-1）×6]÷2=3008
32×5+[32×（32-1）×6]÷2=3136
分子和就是：3008+3136=6144
這些最簡分數的和是：6144÷24=256
故填：64，256．

點評：分子、分母只有公因數1的分數叫做最簡分數；或者說分子和分母是互質數的分數，叫做最簡分數．然后再根據題意，和學過的知識解答即可．