Question

15．如圖是一個邊長分別為a、b、c的直角三角形，并且c²=a²+b²．請你分別以直角三角形的三邊中點為圓心，以邊長為直徑在直角三角形外畫半圓．這三個半圓面積是什么關系？并說明理由．

Answer 1

分析 先設直角三角形的三邊分別為a、b、c，再由勾股定理及圓的面積公式即可得出三個半圓面積之間的關系．

解答 解：如圖：

設直角三角形的三邊分別為a、b、c，
則因為三個半圓的面積分別是：
$\frac{1}{2}$×π（$\frac{a}{2}$）²=$\frac{1}{8}$πa²
$\frac{1}{2}$×π（$\frac{2}$）²=$\frac{1}{8}$πb²
所以$\frac{1}{8}$πa²+$\frac{1}{8}$πb²=$\frac{1}{8}$π（a²+b²）
而a²+b²=c²，
所以$\frac{1}{8}$πa²+$\frac{1}{8}$πb²=$\frac{1}{8}$πc²．
所以以直角三角形的兩條直角邊為直徑的半圓面積和等于以斜邊為直徑的半圓面積．

點評 此題根據半圓的面積公式以及勾股定理證明：以直角三角形的兩條直角邊為直徑的半圓面積和等于以斜邊為直徑的半圓面積，重在驗證勾股定理．