Question

線段AB上有1998個點（包括A，B兩點），將點A染成紅色，點B染成藍色，其余各點染成紅色或藍色．這時，圖中共有1997條互不重疊的線段．問：兩個端點顏色相異的小線段的條數是奇數還是偶數？為什么？

Answer 1

分析：從最簡單的情況考慮：如果中間的1996個點全部染成紅色，這時異色線段只有1條，是一個奇數，然后我們對這種染色方式進行調整：將某些紅點改成藍點并注意到顏色調整時，異色線段的條數隨之有哪些變化，由于顏色的調整使任意的，因此與條件中染色的任意性就一致了．

解答：解：從最簡單的情況考慮：如果中間的1996個點全部染成紅色，這時異色線段只有1條，是一個奇數；
將任意一個紅點染成藍點，這個改變顏色的點的左右兩側相鄰的兩個點若是同色，則異色小線段的條數或者增加2條（相鄰的兩個點同為紅色），或者減少2條（相鄰的兩點同為藍色）；這個改變顏色的點的左右兩側相鄰的兩個點若是異色，則異色小線段的條數不變；
綜上所述，改變任意點的顏色，異色線段的條數的改變總是一個偶數，從而異色線段的條數是一個奇數．

點評：本題是操作推理問題，關鍵是利用“假設法”確定改變一個的顏色分兩種情況討論異色小線段的條數的變化．