Question

有一正方形，通過多次劃分，得到若干個正方形，具體操作如下：

第1次把它等分成4個小正方形，第2次將上次分成小正方形的其中一個又等分成4個小正方形，…，依此操作下去．
（1）通過觀察和猜想，將第3次、第4次和第n次劃分圖中得到的正方形總個數（m）填入表中．

次數（n）	第1次	第2次	第3次	第4次	…	第n次
正方形總個數（m）

（2）請你推斷，按上述操作方法，能否得到103個正方形？為什么？

Answer 1

解：（1）根據題干分析可得：第一次劃分，得出5個正方形，可以寫成1×4+1；
第2次劃分，根據圖形得出共有9個正方形；可以寫成2×4+1；
第3次劃分，可得出13個正方形，可以寫成3×4+1；
第4次劃分，可得出17個正方形，可以寫成4×4+1；
依題意得：第n次劃分后，圖中共有4n+1個正方形；由此即可完成表格如下：


（2）因為第n次劃分后，圖中共有4n+1個正方形，
所以可得4n+1=103，則n=，方程沒有整數解，所以不能得到2011個正方形．
分析：本題需先根據圖形，得出第2次劃分共有多少個正方形，找出規律，得出n個的時候有多少個，從而得出結果．
點評：本題主要考查了圖形的變化類問題，在解題時要根據已知條件，找出規律是解題的關鍵．