Question

學校舉辦一次中國象棋比賽，有10名同學參加，比賽采用單循環賽制，每名同學都要與其他9名同學比賽一局．比賽規則，每局棋勝者得2分，負者得0分，平局兩人各得1分．比賽結束后，10名同學的得分各不相同，已知：
（1）比賽第一名與第二名都是一局都沒有輸過；
（2）前兩名的得分總和比第三名多20分
（3）第四名的得分與最后四名的得分和相等，那么，排名第五名的同學的得分是

11分

？

Answer 1

分析：首先，由比賽規則“每局棋勝者得2分，負者得0分，平局兩人各得1分”，可知每場比賽產生的分值是2分．其次，由條件“有10 名同學參加，比賽采用單循環賽制，每名同學都要與其他9名同學比賽一局”，可知共進行了45 場比賽．因此假設第一名贏了全部9場比賽，則他得18分．根據條件“（1）比賽第一名與第二名都是一局都沒有輸過”，可以得出第一名一定和棋過．要是第一名全部贏了，那么第二名一定輸過棋．由上分析可得：第一名最多17分，第二名最多16分．由此再根據不同情況根據條件（2）（3）進行分析推理即可．

解答：解：由題意可知，需共比賽10×9÷2=45場比賽，產生的分值共90分．
假設第一名贏了全部9場比賽，則他得18分．
由（1）可得，第一名一定和棋過．所以第一名最多17分，第二名最多16分．
第一種情況：不妨設第一名得17分，第二名得16分，則前兩名的得分總和是33分．由條件“（2）前兩名的得分總和比第三名多20分”，則第三名分數為33-20=13分．
①若設第四名為12分，則第7、8、9、10名的分數和為12分．第五名為11分，第六名分數為9分．全部滿足條件．
②若設第四名為11分，則第7、8、9、10名的分數和為11分．此時第五與六名的分數和為：90-33-13-11-11=22分．必定有人分數高于11分，矛盾．
③若設第四名得分低于11分，則同樣可推出矛盾．
第二種情況：不妨設第一名和第二名總分為32分（第一名得17分，第二名得15分），則第三名為32-20=12分．第四名最多為11分．
那么第7、8、9、10名的分數和為11分．第五名和第六名分數和為24分．結果推導出矛盾來．其它情況都會推導出矛盾．
因此，第五名的成績是11分．
故答案為：11．

點評：根據已知條件得出第一名及第二名的得分的最大取值范圍并由此根據不同情況進行分析找出矛盾，通過排除法得出結論是完成本題的關鍵．