Question

已知在乘積1×2×3×…×N的尾部恰好有100個(gè)連續(xù)的“0”．N的最大值是

409

．

Answer 1

分析：因?yàn)?0=2×5，尾部出現(xiàn)一個(gè)零，所乘的因數(shù)中就要有一個(gè)成對的“2”和“5”．因?yàn)樗�乘�?shù)為1至400中的連續(xù)自然數(shù)，因此，其中質(zhì)因數(shù)2的個(gè)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)，這樣，要讓尾部恰好有100個(gè)連續(xù)的“0”，只需讓所乘的因數(shù)中有100個(gè)質(zhì)因數(shù)“5”．當(dāng)N=400時(shí)，1，2，3，…．，400中共有5有倍數(shù)400÷5=80（個(gè)），其中25的倍數(shù)有400÷25=16（個(gè)），125的倍數(shù)有400÷125=3（個(gè)）．80+16+3=99；所以1×2×3×…×400中含有99個(gè)質(zhì)因數(shù)2的個(gè)數(shù)多于99個(gè)．所以，1×2×3×…×400的尾部有99個(gè)連續(xù)的“0”．
現(xiàn)在還缺1個(gè)“0”，只要在400后面出現(xiàn)一個(gè)5（不是25、125…）的倍數(shù)．第一個(gè)出現(xiàn)的是405，而N必須最大，顯然這個(gè)N應(yīng)該是409．

解答：解：根據(jù)題干分析可得：當(dāng)N=400時(shí)，1，2，3，…．，400中共有5有倍數(shù)400÷5=80（個(gè)），其中25的倍數(shù)有400÷25=16（個(gè)），125的倍數(shù)有400÷125=3（個(gè)）．
80+16+3=99；
所以1×2×3×…×400中含有99個(gè)質(zhì)因數(shù)2的個(gè)數(shù)多于99個(gè)．
所以，1×2×3×…×400的尾部有99個(gè)連續(xù)的“0”．
現(xiàn)在還缺1個(gè)“0”，只要在400后面出現(xiàn)一個(gè)5（不是25、125…）的倍數(shù)．
所以400以后，第一個(gè)出現(xiàn)的5的倍數(shù)是405，
而N必須最大，顯然這個(gè)N應(yīng)該是409．
故答案為：409．

點(diǎn)評：解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)質(zhì)因數(shù)2和5的個(gè)數(shù)成對特點(diǎn)，得出：只需讓所乘的因數(shù)中有100個(gè)質(zhì)因數(shù)“5”即可使積的末尾恰好有100個(gè)0，據(jù)此分析即可解答問題．