Question

有一串自然數(shù)排成一行，已知它的第1個(gè)數(shù)與第2個(gè)數(shù)互質(zhì)，而且第1個(gè)數(shù)的

5

6

恰好是第2個(gè)數(shù)的

1

4

．從第3個(gè)數(shù)開(kāi)始每個(gè)數(shù)正好是前2個(gè)數(shù)的和，那么這串?dāng)?shù)的第1999項(xiàng)被3除得的余數(shù)是

2

．

Answer 1

分析：設(shè)第一個(gè)數(shù)是a，第二個(gè)數(shù)是b，那么：

5

6

a=

1

4

b，ab是自然數(shù)，而且互質(zhì)，所以求得a=3，b=10；
這串?dāng)?shù)列就是：
3，10，13，23，36，59，95，154，249…
除以3后的余數(shù)是：
0，1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，…
余數(shù)規(guī)律“0，1，1，2，0，2，2，1”8個(gè)數(shù)一組進(jìn)行循環(huán)的，求出1999里面有幾個(gè)8，還余幾，再根據(jù)余數(shù)推算．

解答：解：設(shè)第一個(gè)數(shù)是a，第二個(gè)數(shù)是b，那么：

5

6

a=

1

4

b，
10a=3b，
a、b是自然數(shù)，而且互質(zhì)，所以求得 a=3，b=10；
這串?dāng)?shù)列就是：
3，10，13，23，36，59，95，154，249…
它們除以3后的余數(shù)是按照“0，1，1，2，0，2，2，1”8個(gè)數(shù)一組進(jìn)行循環(huán)的，
1999÷8=249…7；
余數(shù)是7，那么第1999個(gè)數(shù)除以3后的余數(shù)，與第7個(gè)數(shù)除以3后的數(shù)相同都是2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：先根據(jù)前兩數(shù)之間的關(guān)系，求出這個(gè)數(shù)列，再找出余數(shù)的周期性規(guī)律，然后再根據(jù)周期性的規(guī)律求解．