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14. 【查看更多】

選做題
A．選修4-2矩陣與變換
已知矩陣A=

.

1	2
-1	4

.

，向量

a

=

.

7

4

.

．
（Ⅰ）求A的特征值λ₁、λ₂和特征向量α₁、α₂；（Ⅱ）計算A⁶α的值．
B．選修4-4坐標系與參數方程
已知直線l的參數方程為

x=4-2t

y=t-2

（t為參數），P是橢圓

x2

4

+y2=1上任意一點，求點P到直線l的距離的最大值．

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選做題
A不等式選講
已知a∈R，若關于x的方程x2+x+|a-

1

4

|+|a|=0有實根，求a的取值．
B坐標系與參數方程
已知曲線C₁、C₂的極坐標方程分別為ρcosθ=3，ρ=4cosθ（ρ≥0，0≤θ＜

π

2

，求曲線C₁、C₂交點的極坐標．

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選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）

(幾何證明選講選做題)如圖,PAB、PCD為⊙O的兩條割線,若PA=5,AB=7,CD=11,，則BD等于

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選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）

(幾何證明選講選做題)如圖,AD為⊙O直徑,BC切⊙O于E點,AB⊥BC,DC⊥BC,AB=4,

DC=1,則AD等于

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選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）

(幾何證明選講選做題)如圖4,△ABC中,D、E分別在邊AB、AC上,CD平分∠ACB,DE∥BC,如果AC=10,AE=4,那么BC=___________.

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CACD CCBA

9、 10、2:1 11、 12、 13、4

14、a<-1 15、

16、

17、解：（I）依題意

…………2分

…………4分

bn=8+8×(n-1)=8n …………5分

（II） …………6分

…………12分

18、（1）3

（2）底面邊長為2，高為4是，體積最大，最大體積為16

19、

略解、（1）因為f′(x)=3ax²+2x-1，依題意存在（2，+∞）的非空子區間使3ax²+2x-1>0成立，即在x∈（2，+∞）某子區間上恒成立，令h(x)=,求得h(x)的最小值為，故

（2）由已知a>0

令f′(x)=3ax²+2x-1>0

得故f(x)在區間（）上是減函數，即f(x)在區間（）上恒大于零。故當a>0時，函數在f(x)在區間（）上不存在零點

20、（1）f(1)=3………………………………………………………………………………（1分）

f(2)=6………………………………………………………………………………（2分）

當x=1時，y=2n，可取格點2n個；當x=2時,y=n，可取格點n個

∴f(n)=3n…………………………………………………………………………（4分）

（2）………………………………………………（9分）

∴T₁<T₂=T₃>T₄>…>T_n

故T_n的最大值是T₂=T₃=

∴m≥………………………………………………………………（）

21、解：（Ⅰ）設,

且, …………………2分

…………………3分

. ………………………………………………4分

∴動點M的軌跡C是以O（0，0）為頂點，以（1，0）為焦點的拋物線（除去原點）.

　　　　　　　　　　　　　…………………………………………5分

（Ⅱ）解法一：（1）當直線垂直于軸時，根據拋物線的對稱性，有；

……………6分

（2）當直線與軸不垂直時，依題意，可設直線的方程為，，則A，B兩點的坐標滿足方程組

消去并整理，得

,

. ……………7分

設直線AE和BE的斜率分別為，則:

＝

. …………………9分

,

，

.

綜合（1）、（2）可知. …………………10分

解法二：依題意，設直線的方程為，，則A，B兩點的坐標滿足方程組:

消去并整理，得

,

. ……………7分

設直線AE和BE的斜率分別為，則:

＝

. …………………9分

,

，

. 　……………………………………………………10分

（Ⅲ）假設存在滿足條件的直線，其方程為，AD的中點為，與AD為直徑的圓相交于點F、G，FG的中點為H，則，點的坐標為.

,

. …………………………12分

,

令，得

此時，.

∴當，即時，（定值）.

∴當時，滿足條件的直線存在，其方程為；當時，滿足條件的直線不存在.

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