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（12分）
一種填數字彩票2元一張，購買者在彩票上依次填上0～9中的兩個數字（允許重復），中獎規則如下:如果購買者所填的兩個數字依次與開獎的四個有序數字分別對應相等，則中一等獎10元；如果購買者所填的兩個數字中，只有第二個數字與開獎的第二個數字相等，則中二等獎2元，其他情況均不中獎。
⑴小明和小輝在沒有商量的情況下各買了一張這種彩票，求他倆都中一等獎的概率；
⑵求購買一張這種彩票能夠中獎的概率；
⑶設購買一張這種彩票的收益為隨機變量§，求§的數學期望。

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一．填空題：

1．；    2．；                 3．       4．2；           5．；

6. ；   7．；  8．3；          9．；     10．．

二．選擇題：11．B ；     12．C；     13．C．

三．解答題：

14．[解]（Ⅰ）方法一（綜合法）設線段的中點為，連接，

則為異面直線OC與所成的角（或其補角）  ………………………………..1分

       由已知，可得，

為直角三角形       ……………………………………………………………….1分

，  ……………………………………………………………….4分

．

所以，異面直線OC與MD所成角的大小．   …………………………..1分

方法二(向量法)

以AB,AD,AO所在直線為軸建立坐標系，

則, ……………………………………………………2分

，， ………………………………………………………………………………..1分

 設異面直線OC與MD所成角為，

．……………………………….. …………………………2分

 OC與MD所成角的大小為．…………………………………………………1分

（Ⅱ）方法一（綜合法）

作于， ……………………………………………………………………………1分

且，平面

平面 ………………………………………………………………………………4分

所以，點到平面的距離 …………………………………………………2分

方法二(向量法)

設平面的一個法向量，

…………………………………………………………………2分

．

……………………………………………………………………………………….2分

設到平面的距離為

則．……………………………………………………………………3分

15．[解]（Ⅰ）設“小明中一等獎”為事件 ，“小輝中一等獎”為事件 ，事件與事件相互獨立，他們倆都中一等獎，則

所以，購買兩張這種彩票都中一等獎的概率為． ………………………………..4分

（Ⅱ）事件的含義是“買這種彩票中獎”，或“買這種彩票中一等獎或中二等獎”…1分

顯然，事件A與事件B互斥，

所以， ………………………………..3分

故購買一張這種彩票能中獎的概率為．……………………………………………………..1分

（Ⅲ）對應不中獎、中二等獎、中一等獎，的分布列如下：

…………………………………………..………………………………………………….3分

購買一張這種彩票的期望收益為損失元．…………………………………………………..3分

16．[解] （Ⅰ）由于恒成立，所以函數的定義域為………………..2分

，

（1）當時，函數，函數的值域為…………………………1分

（2）當時，因為，所以，

，從而，………………………………………………..3分

所以函數的值域為．   ……………………………………………………….1分

（Ⅱ）假設函數是奇函數，則，對于任意的，有成立，

即

當時，函數是奇函數．  …………………………………………………….2分

當時，函數是偶函數．  ………………………………………………..2分

當，且時，函數是非奇非偶函數．  ………………………………….1分

對于任意的，且，

………………………………………..3分

所以，當時，函數是常函數   ………………………………………..1分

當時，函數是遞減函數．   ………………………………………..1分

17．[解]（Ⅰ）由題意，……………………………6分

（Ⅱ）解法1：由且知

，，

，，

因此，可猜測（）     ………………………………………………………4分

將，代入原式左端得

左端

即原式成立，故為數列的通項．……………………………………………………….3分

用數學歸納法證明得3分

解法2：由 ，

令得，且

即，……… ……………………………………………………………..4分

所以

因此，，．．．，

將各式相乘得………………………………………………………………………………3分

（Ⅲ）設上表中每行的公比都為，且．因為，

所以表中第1行至第9行共含有數列的前63項，故在表中第10行第三列，………2分

因此．又，所以． …………………………………..3分

則．…………………………………………2分

18．[解]（Ⅰ）動點的軌跡是以為原點，以3為半徑的球面 ……………………………1分

并設動點的坐標為，動點滿足．

則球面的方程為． …………………………………………………4分

（Ⅱ）設動點，則

所以  ……………………………………………………………5分

整理得曲面的方程：      （*）   …………………………………………2分

若坐標系原點建在平面上的點處，可得曲面的方程：同樣得分．

（Ⅲ）（1）對稱性：由于點關于平面的對稱點、關于平面的對稱點均滿足方程（*），所以曲面關于平面與平面對稱．  …………………2分

又由于點關于軸的對稱點滿足方程（*），所以曲面關于軸對稱．

（2）范圍：由于，所以，，即曲面在平面上方．  ………………2分

（3）頂點：令，得，即坐標原點在曲面上，點是曲面的頂點．  …2分

…………………………2分