題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
已知函數
。
（1）證明：
（2）若數列
的通項公式為
，求數列 的前
項和
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（3）設數列
滿足：
，設
，
若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數
，
恒成立，
試求的最大值。
（本小題滿分14分）已知
，點
在
軸上，點
在
軸的正半軸，點
在直線
上，且滿足
，
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡
方程；
的直線
與軌跡交于
、
兩點，又過、作軌跡的切線
、
，當
，求直線的方程.（本小題滿分14分）設函數
（1）求函數
的單調區間；
（2）若當
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
的方程
在區間
上恰好有兩個相異的實根，求實數
的取值范圍。（本小題滿分14分）
已知
，其中
是自然常數，
（1）討論
時, 
的單調性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求證：在（1）的條件下，
；
（3）是否存在實數
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
（本小題滿分14分）
設數列
的前
項和為
，對任意的正整數，都有
成立，記
。
（I）求數列
的通項公式；
（II）記
，設數列
的前項和為
，求證：對任意正整數都有
；
（III）設數列的前項和為
。已知正實數
滿足：對任意正整數
恒成立，求的最小值。
一、選擇題：(每小題5分, 共50分)
1――
二、填空題（每題5分，共20分）
11. 2 12. 
13. 
14. 
－2
三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明、演算步驟或推證過程。
15．（本小題滿分12分）
解：（1）
（2）
而函數f(x)是定義在
上為增函數
即原不等式的解集為
16. 解：
….4分
（1）
的最小正周期為
;。。。。8分
（2）因為
，即
,即 
。。。。12分
17. （1）當
有最小值為
。…….7分
（2）當
，使函數
恒成立時，故
。。。。14分
18. （I）解法一：
……4分
當
，即
時，
取得最大值
因此，取得最大值的自變量x的集合是
.……8分
解法二：
……4分
當，即時，取得最大值.
因此，取得最大值的自變量x的集合是……8分
（Ⅱ）解：
由題意得
，即
.
因此，的單調增區間是
.…………12分
19. 解
(1）設該廠的月獲利為y,依題意得?。。。。2分
y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x2+130x－500。。。。。4分
由y≥1300知－2x2+130x－500≥1300
∴x2－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45。。。。6分
∴當月產量在20~45件之間時，月獲利不少于1300元
。。。。。。7分
(2）由(1）知y=－2x2+130x－500=－2(x－
)2+16125。。。。。。9分
∵x為正整數，∴x=32或33時，y取得最大值為1612元，。。。12分
∴當月產量為32件或33件時，可獲得最大利潤1612元。。。。。14分
20. 解 （1）當a=1,b=?2時，f(x)=x2?x?3，。。。。2分
由題意可知x=x2?x?3，得x1=?1,x2=3 。。。。6分
故當a=1,b=?2時，f(x)的兩個不動點為?1,3 。。。。7分
（2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b?1)(a≠0)恒有兩個不動點，
∴x=ax2+(b+1)x+(b?1)，
即ax2+bx+(b?1)=0恒有兩相異實根。。。。。9分
∴Δ=b2?4ab+ 。。。。。11分
于是Δ′=(
故當b∈R，f(x)恒有兩個相異的不動點時，0＜a＜1 。。。。。。14分
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