題目列表(包括答案和解析)
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甲、乙兩人玩數字游戲，先由甲心中任想一個數字記為
，再由乙猜甲剛才想的數字，把乙猜的數字記為
，且
，若
，則稱“甲乙心有靈犀”， 現任意找兩個人玩這個游戲，得出他們“心有靈犀”的概率為________．
一、選擇題：
1．C 2．D3．A4．C 5．C6．A7．B 8．D9．B10．D11．B 12．B
二、填空題：
13、
14、
15、1
16、一 17、4
18、56 19、
20、
21、
22、4/9 23、② 24、
25、
26、①
三、解答題：
16、解: (Ⅰ)
,
∴
，
解得
．
(Ⅱ)由
,得：
,
∴
∴
17、解：（1）
則
的最小正周期
，
且當
時單調遞增．
即
為的單調遞增區間（寫成開區間不扣分）．………6分
（2）當
時
，當
，即
時
．
所以
．
為的對稱軸．
18、解：（Ⅰ）解法一：“有放回摸兩次，顏色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，記“有放回摸球兩次，兩球恰好顏色不同”為事件
，
∵“兩球恰好顏色不同”共
種可能，
∴
．
解法二：“有放回摸取”可看作獨立重復實驗，
∵每次摸出一球得白球的概率為
．
∴“有放回摸兩次，顏色不同”的概率為
．
（Ⅱ）設摸得白球的個數為
，依題意得：
，
，
．
∴
，
．
19、(Ⅰ)證明: 連結
，
與交于點
，連結
.
是菱形, ∴是的中點.
點
為
的中點, ∴
.
平面
平面
, ∴
平面.
(Ⅱ)解法一:
平面,
平面,∴ 
.
，∴
.
是菱形, ∴
.
，
∴
平面
.
作
，垂足為
，連接
，則
,
所以
為二面角
的平面角.
,∴
，
.
在Rt△
中,
=
，
∴
.
∴二面角
的正切值是
.
解法二：如圖，以點為坐標原點，線段
的垂直平分線所在直線為
軸，
所在直線為
軸，
所在直線為
軸，建立空間直角坐標系，令
，
則
，
,
．
∴
．
設平面
的一個法向量為
,
由
，得
，
令
，則
，∴
.
平面,平面,
∴.
，∴.
是菱形,∴.
，∴平面.
∴
是平面的一個法向量,
．
∴
，
∴
，
∴
．
∴二面角的正切值是.
20、解:圓
的方程為
,則其直徑長
,圓心為
,設
的方程為
,即
,代入拋物線方程得:
,設
，
有
,
則
.
故
…6分
,
因此
.
據等差,
,
所以
，即
,
，分
即：方程為
或
.
21、解：（1）因為
，
所以
，滿足條件
.
又因為當
時，
，所以方程
有實數根
．
所以函數
是集合M中的元素．
（2）假設方程存在兩個實數根
），
則
，
不妨設
，根據題意存在數
使得等式
成立，
因為
，所以
，與已知
矛盾，
所以方程只有一個實數根；
（3）不妨設
，因為
所以為增函數，所以
，
又因為
，所以函數
為減函數，
所以
，
所以
，即
，
所以
．
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