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解: (Ⅰ)由, 是三角形內(nèi)角.得-----..2分 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

如圖,已知△ABC中,∠C=
π
2
.設(shè)∠CBA=θ,BC=a,它的內(nèi)接正方形DEFG的一邊EF在斜邊AB上,D、G分別在AC、BC上.假設(shè)△ABC的面積為S,正方形DEFG的面積為T.
(1)用a,θ表示△ABC的面積S和正方形DEFG的面積T;
(2)設(shè)f(θ)=
T
S
,試求f(θ)的最大值P,并判斷此時(shí)△ABC的形狀;
(3)通過對(duì)此題的解答,我們是否可以作如下推斷:若需要從一塊直角三角形的材料上裁剪一整塊正方形(不得拼接),則這塊材料的最大利用率要視該直角三角形的具體形狀而定,但最大利用率不會(huì)超過第(2)小題中的結(jié)論P(yáng).請(qǐng)分析此推斷是否正確,并說明理由.

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中,是三角形的三內(nèi)角,是三內(nèi)角對(duì)應(yīng)的三邊,已知成等差數(shù)列,成等比數(shù)列

(Ⅰ)求角的大小;

(Ⅱ)若,求的值.

【解析】第一問中利用依題意,故

第二問中,由題意又由余弦定理知

,得到,所以,從而得到結(jié)論。

(1)依題意,故……………………6分

(2)由題意又由余弦定理知

…………………………9分

   故

           代入

 

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壯懷激烈千古恨 初出茅廬志已衰

  繼薩凱里之后,大概又過了半個(gè)世紀(jì).歐洲“數(shù)學(xué)之王”高斯的至友匈牙利數(shù)學(xué)家伏爾夫剛·鮑里埃,終身從事證明“第五公設(shè)”的研究,由于心血耗盡,毫無成效,便懷著沉重的心情,給那酷愛數(shù)學(xué)的兒子亞諾什·鮑耶(1802~1860)寫信,希望小鮑耶“不要再做克服平行公理的嘗試”.他忠告兒子說:“投身于這一貪得無度地吞人們的智慧、精力和心血的無底洞,白花時(shí)間在上面,一輩子也證不出這個(gè)命題來.”他滿腹心酸地寫到:“我經(jīng)過了這個(gè)毫無希望的夜的黑暗,我在這里面埋沒了人生的一切亮光、一切歡樂和一切希望.”最后告誡自己心愛的兒子說:“若再癡戀這一無止無休的勞作,必然會(huì)剝奪你生活的一切時(shí)間、健康、休息和幸福!”但是,年僅21歲的小鮑耶卻是敢向“無底洞”覓求真知的探索者.他認(rèn)真吸取前人失敗的教訓(xùn),初出茅廬就大顯身手.小鮑耶匠心獨(dú)運(yùn),大膽創(chuàng)新,決然將“第五公設(shè)”換成他自身的否定.從“三角形三個(gè)內(nèi)角和小于180°”這一令人瞠目結(jié)舌的假設(shè)出發(fā),建立起一套完整協(xié)調(diào)、天衣無縫的新幾何體系.小鮑耶滿懷激情地將自己的科學(xué)創(chuàng)見向父親報(bào)捷.老伏爾夫剛以之見教于至友高斯,不久,高斯復(fù)信鮑里埃,信中寫到:“如果我一開始便說我不能稱贊這樣的成果,你一定會(huì)感到驚訝.但是,我不能不這樣說,因?yàn)榉Q贊這些成果就等于稱贊我自己.令郎的這些工作,他走過的路,以及所獲得的成果,跟我過去30年至35年前的所思所得幾乎一模一樣.”高斯在回信結(jié)尾還開誠布公地提到:“我自己的著作,盡管寫好的只是一部分,我本來也想發(fā)表,因?yàn)槲遗乱承┤说暮奥暎F(xiàn)在,有了朋友的兒子能夠這樣寫下來,免得他與我一樣湮沒,那是使我非常高興的.”這位當(dāng)代數(shù)學(xué)大師恐怕做夢(mèng)也沒想到,他這封推心置腹的信,竟會(huì)一舉撞毀初露鋒芒的數(shù)壇新星!

  高斯的復(fù)信給小鮑耶帶來意想不到的毀滅性打擊.躊躇滿志的鮑耶誤認(rèn)為高斯動(dòng)用自己擁有的崇高權(quán)威來壟斷和奪取這一新體系的發(fā)明優(yōu)先權(quán).為此,他痛心疾首,認(rèn)為自己心血澆灌出來的成果和嘔心瀝血的辛勤工作,竟得不到大家的理解、支持和同情.于是郁郁寡歡,大失所望,發(fā)誓拋棄了一切數(shù)學(xué)研究.

1.對(duì)于“數(shù)學(xué)之王”高斯給鮑耶的回信,你有什么看法呢?如果你是高斯,你該怎樣回信?

2.躊躇滿志的鮑耶誤認(rèn)為“高斯動(dòng)用自己擁有的崇高權(quán)威來壟斷和奪取這一新體系的發(fā)明優(yōu)先權(quán)”,進(jìn)而“郁郁寡歡,大失所望,發(fā)誓拋棄了一切數(shù)學(xué)研究”.你又有何看法呢?假如你是鮑耶,你又該怎么做呢?

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如圖,在直三棱柱中,底面為等腰直角三角形,為棱上一點(diǎn),且平面平面.

(Ⅰ)求證:點(diǎn)為棱的中點(diǎn);

(Ⅱ)判斷四棱錐的體積是否相等,并證明。

【解析】本試題主要考查了立體幾何中的體積問題的運(yùn)用。第一問中,

易知。由此知:從而有又點(diǎn)的中點(diǎn),所以,所以點(diǎn)為棱的中點(diǎn).

(2)中由A1B1⊥平面B1C1CD,BC⊥平面A1ABD,D為BB1中點(diǎn),可以得證。

(1)過點(diǎn)點(diǎn),取的中點(diǎn),連且相交于,面內(nèi)的直線。……3分

且相交于,且為等腰三角形,易知。由此知:,從而有共面,又易知,故有從而有又點(diǎn)的中點(diǎn),所以,所以點(diǎn)為棱的中點(diǎn).               …6分

(2)相等.ABC-A1B1C1為直三棱柱,∴BB1⊥A1B1,BB1⊥BC,又A1B1⊥B1C1,BC⊥AB,

∴A1B1⊥平面B1C1CD,BC⊥平面A1ABD(9分)∴VA1-B1C1CD=1 /3 SB1C1CD•A1B1=1/ 3 ×1 2 (B1D+CC1)×B1C1×A1B1VC-A1ABD=1 /3 SA1ABD•BC=1 /3 ×1 2 (BD+AA1)×AB×BC∵D為BB1中點(diǎn),∴VA1-B1C1CD=VC-A1ABD

 

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