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（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）化簡：．

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（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）利用第（Ⅰ）問的結果證明C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=n•2^n-1；  
（Ⅲ）其實我們常借用構造等式，對同一個量算兩次的方法來證明組合等式，譬如：（1+x）¹+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=；，由左邊可求得x²的系數為C₂²+C₃²+C₄²+…+C_n²，利用右式可得x²的系數為C_n+1³，所以C₂²+C₃²+C₄²+…+C_n²=C_n+1³．請利用此方法證明：（C_2n）²-（C_2n¹）²+（C_2n²）²-（C_2n³）²+…+（C_2n²ⁿ）²=（-1）ⁿC_2nⁿ．

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一、              選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個備選項中，有且只有一項是符合要求的．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

A

A

C

B

B

C

A

二、              填空題：本大題共7小題，每小題5分，共30分．其中13～15小題是選做題，考生只能選做兩題，若三題全答，則只計算前兩題得分．

9．             10．             11．

12．②③                                13．，

14．，                     15．，

三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

16.    解：（Ⅰ）因為，，所以

    ．

因此，當，即（）時，取得最大值；

（Ⅱ）由及得，兩邊平方得

，即．

因此，．

17.    解：（Ⅰ）記“小球落入袋中”為事件，“小球落入袋中”為事件，則事件的對立事件為，而小球落入袋中當且僅當小球一直向左落下或一直向右落下，故

，

從而；

（Ⅱ）顯然，隨機變量，故

，

．

18.    解： 建立如圖所示的空間直角坐標系，

并設，則

    （Ⅰ），，

所以，從而得

；

（Ⅱ）設是平面的

法向量，則由，及

，

得

可以取．

    顯然，為平面的法向量．

    設二面角的平面角為，則此二面角的余弦值

．

19.    解：（Ⅰ）依題意，有（），化簡得

（），

這就是動點的軌跡的方程；

    （Ⅱ）依題意，可設、、，則有

，

兩式相減，得，由此得點的軌跡方程為

（）．

    設直線：（其中），則

，

故由，即，解之得的取值范圍是．

20.    解：（Ⅰ）依題意知：直線是函數在點處的切線，故其斜率

，

所以直線的方程為．

    又因為直線與的圖像相切，所以由

，

得（不合題意，舍去）；

    （Ⅱ）因為（），所以

．

當時，；當時，．

因此，在上單調遞增，在上單調遞減．

因此，當時，取得最大值；

（Ⅲ）當時，．由（Ⅱ）知：當時，，即．因此，有

．

21.    解：（Ⅰ），，；

（Ⅱ）依題意，得，，由此及得

，

即．

    由（Ⅰ）可猜想：（）．

    下面用數學歸納法予以證明：

    （1）當時，命題顯然成立；

    （2）假定當時命題成立，即有，則當時，由歸納假設及

得，即

，

解之得

（不合題意，舍去），

即當時，命題成立．

    由（1）、（2）知：命題成立．

（Ⅲ）

        ．

令（），則，所以在上是增函數，故當時，取得最小值，即當時，．

（，）

    ，即（）

    ．

解之得，實數的取值范圍為．