題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分14分）
已知函數
。
（1）證明：
（2）若數列
的通項公式為
，求數列 的前
項和
；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（3）設數列
滿足：
，設
，
若（2）中的滿足對任意不小于2的正整數
，
恒成立，
試求的最大值。
（本小題滿分14分）已知
，點
在
軸上，點
在
軸的正半軸，點
在直線
上，且滿足
，
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（Ⅰ）當點在軸上移動時，求動點的軌跡
方程；
的直線
與軌跡交于
、
兩點，又過、作軌跡的切線
、
，當
，求直線的方程.（本小題滿分14分）設函數
（1）求函數
的單調區間；
（2）若當
時，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
的方程
在區間
上恰好有兩個相異的實根，求實數
的取值范圍。（本小題滿分14分）
已知
，其中
是自然常數，
（1）討論
時, 
的單調性、極值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求證：在（1）的條件下，
；
（3）是否存在實數
，使的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
（本小題滿分14分）
設數列
的前
項和為
，對任意的正整數，都有
成立，記
。
（I）求數列
的通項公式；
（II）記
，設數列
的前項和為
，求證：對任意正整數都有
；
（III）設數列的前項和為
。已知正實數
滿足：對任意正整數
恒成立，求的最小值。
一、選擇題
1. C 2. A 3. C 4. D 5.D 6. B 7. C 8. B
二、填空題
9.
，
10.
11.
12.
13. ①③ 14.（1，2）
三、解答題
15. 解：
1分
2分
???3分
（Ⅰ）
的最小正周期為
； ???6分
（Ⅱ）由
， 
7分
得
，
8分
的單調增區間為
???9分
（Ⅲ）因為
，即
10分
11分
???12分
16.解：(Ⅰ)∵
∴當
時，則
得
1分
解得
???3分
當
時，則由
4分
解得
??6分
(Ⅱ) 當
時，
???7分
???8分
，
中各項不為零
???9分
???10分
是以
為首項，為公比的數列
???11分
???12分
17.
(Ⅰ) 證明：∵
，
∴ 令
，得
???1分
∴
???2分
令
，得
???3分
即
∴函數為奇函數
???4分
(Ⅱ) 證明：設
，且
???5分
則 
???6分
又∵當
時
∴
???7分
即
???8分
∴函數在
上是增函數
???9分
(Ⅲ) ∵函數在上是增函數
∴函數在區間［－4，4］上也是增函數
???10分
∴函數的最大值為
，最小值為
???11分
∵
∴
???12分
∵函數為奇函數
∴
???13分
故，函數的最大值為12，最小值為
.
???14分
18. 解：設甲現在所在位置為A，乙現在所在位置為B，運動t秒后分別到達位置C、D,如圖可知CD即為甲乙的距離.
??1分
當
時,
??2分
??3分
??5分
時，
??7分
當
時,C、B重合, 
??9分
當
時,
??10分
??12分
??13分
綜上所述：經過2秒后兩人距離最近為
. ??14分
19. 解證：（I）易得
???1分
的兩個極值點
的兩個實根，又
???3分
∴
???5分
∵
???6分
???8分
（Ⅱ）設
則
???10分
由
???11分
上單調遞減
???12分
???13分
∴
的最大值是 
???14分
20.解：(Ⅰ)當時，
， 
，???1分
數列
為等比數列，
，故
???2分
???3分
(Ⅱ)設數列
公差
，
根據題意有：
，
???4分
即：
，
，代入上式有： ???5分
,
???7分
即關于不等式
有解
???8分
當
時，
???9分
???10分
(Ⅲ)
，記
前n項和為
???11分
???12分
???13分
???14分
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