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（本小題滿分12分）已知等比數列{a_n}中， 

   （Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n；

   （Ⅱ）設數列{a_n}的前n項和為S_n，證明:；

   （Ⅲ）設，證明：對任意的正整數n、m，均有

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（本小題滿分12分）已知函數，其中a為常數.

   （Ⅰ）若當恒成立，求a的取值范圍；

   （Ⅱ）求的單調區間.

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說明：1．參考答案與評分標準指出了每道題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力比照評分標準給以相應的分數．

      2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．

      3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．

4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．

一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

D

C

B

A

D

A

C

B

10．方法1：由，得，

即．

于是，

所以．

    方法2：由，得，

即．

于是，

則（其中），再利用導數的方法求解．

二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共5小題，每小題5分，滿分20分．

11．760         12．12         13．3；－1         14．         15．3

三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．

16．（本小題滿分12分）

（本小題主要考查互斥事件等基礎知識，考查運算求解能力）

解：記“甲射擊一次，命中7環以下”為事件，“甲射擊一次，命中7環”為事件，由于在一次射擊中，與不可能同時發生，故與是互斥事件，

（1）“甲射擊一次，命中不足8環”的事件為，

由互斥事件的概率加法公式，．

答：甲射擊一次，命中不足8環的概率是0.22．…………………………………6分

（2）方法1：記“甲射擊一次，命中8環”為事件，“甲射擊一次，命中9環（含9環）以上”為事件，則“甲射擊一次，至少命中7環”的事件為，

∴．

答：甲射擊一次，至少命中7環的概率為0.9．…………………………………12分

方法2：∵“甲射擊一次，至少命中7環”為事件，

∴=1－0.1＝0.9．

答：甲射擊一次，至少命中7環的概率為0.9．…………………………………12分

17．（本小題滿分12分）

（本小題主要考查正弦定理、余弦定理、解三角形等基礎知識，考查運算求解能力）

解：（1）由余弦定理，，………………………………………2分

得，…………………………………………………4分

．……………………………………………………………………………6分

（2）方法1：由余弦定理，得，………………………………8分

，………………………10分

∵是的內角，

∴．………………………………………………………12分

方法2：∵，且是的內角，

∴．………………………………………………………8分

根據正弦定理，，……………………………………………………10分

得． ……………………………………………12分

18．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查空間中線面關系，考查數形結合的數學思想和方法，以及空間想象能力、邏輯推理能力和運算求解能力）

（1）證法1：如圖，取的中點，連接，

∵分別為的中點，∴．

∵分別為的中點，∴．

∴．

∴四點共面．………………………………………………………………2分

∵分別為的中點，∴．……………………………………4分

∵平面，平面，

∴平面．……………………………………………………………………6分

證法2：∵分別為的中點，

∴，．……………………………………………………………2分

∵，∴．

∵，，∴平面平面． …………………5分

∵平面，∴平面． …………………………………………6分

（2）解：∵平面，平面，∴．

∵為正方形，∴．

∵，∴平面．……………………………………………8分

∵，，∴．……………10分

∵，

∴．…………………………………14分

19．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查橢圓方程的定義等基礎知識，考查分類與整合、數形結合的數學思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力）

解：（1）根據橢圓的定義，可知動點的軌跡為橢圓，………………………………1分

    其中，，則．………………………………………2分

所以動點M的軌跡方程為．………………………………………………4分

（2）當直線的斜率不存在時，不滿足題意．………………………………………5分

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，設，，

∵，∴．……………………………………………7分

　　  ∵，，

∴．

　　　∴ ．………… ①  …………………………9分

由方程組

得．…………………………………………………11分

則，，

代入①，得．

即，解得，或．………………………………………………13分

　所以，直線的方程是或．………………………………14分

20．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查函數與導數的概念、不等式及其性質等基礎知識，考查分類討論、化歸與轉化、數形結合的數學思想方法，以及抽象概括能力、邏輯推理能力、運算求解能力和創新意識）

解：（1）∵，且，…………………………………1分

當時，得；當時，得；

∴的單調遞增區間為；

的單調遞減區間為和．…………………………………3分

故當時，有極大值，其極大值為． …………………4分

（2）∵，

當時，，

∴在區間內是單調遞減．…………………………………………6分

∴．

∵，∴

此時，．…………………………………………………………………………9分

當時，．

∵，∴即 ……11分

此時，．……………………………………………………………13分

綜上可知，實數的取值范圍為．…………………………………14分

21．（本小題滿分14分）

（本小題主要考查等差數列、不等式及其性質等基礎知識，考查分類討論、化歸與轉化的數學思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力）

解：（1）由已知，（，）， …………………2分

即（，），且．

∴數列是以為首項，公差為1的等差數列．

∴．……………………………………………………………………………4分

（2）∵，∴，要使恒成立，

∴恒成立，

∴恒成立，

∴恒成立．……………………………………………………………6分

（?）當為奇數時，即恒成立，…………………………………………7分

當且僅當時，有最小值為1，

∴．………………………………………………………………………………9分

（?）當為偶數時，即恒成立，………………………………………10分

當且僅當時，有最大值，

∴．……………………………………………………………………………12分

即，又為非零整數，則．

綜上所述，存在，使得對任意，都有．…………………14分