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已知數列{a_n}中，a₁=4，an+1=4-

4

an

（n∈N^*）
（1）求證：數列{

1

an-2

}是等差數列；
（2）求數列的{a_n}通項公式a_n；
（3）記bn=nan(

1

2

)n+1，求數列{b_n}的前n項和S_n．

已知各項均為正數的兩個數列{a_n}和{b_n}滿足：an+1=

anbn an2+bn2

，n∈N^*．
（1）求證：當n≥2時，有an≤

2

2

成立；
（2）設bn+1=

bn an

，n∈N*，求證：數列{(

bn

an

)2}是等差數列；
（3）設b_n+1=a_nb_n，n∈N*，試問{a_n}可能為等比數列嗎？若可能，請求出公比的值，若不可能，請說明理由．

棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱C₁D₁的中點，F為棱BC的中點
（1）求證AE⊥DA₁
（2）求在線段AA₁上找一點G，使AE⊥面DFG．

已知函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

(b-1)x2+cx+d（a，b，c，d∈R）．
（1）若函數f（x）在x=1，x=2處取得極值，求b，c的值；
（2）若函數f（x）在區間（-∞，x₁），（x₂，+∞）上為增函數，在（x₁，x₂）上為減函數，且x₂-x₁＞1，求證：b²＞2（b+2c）；
（3）在（2）的條件下，當t＜x₁時，試比較t²+bt+c與x₁的大�。�

[選做題]
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，PA是⊙O的切線，PB交AC于點E，交⊙O于點D，若PE=PA，
∠ABC=60°，PD=1，BD=8，求BC的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
二階矩陣M對應的變換將點（1，-1）與（-2，1）分別變換成點（-1，-1）與（0，-2）．
（Ⅰ）求矩陣M的逆矩陣M^-1；
（Ⅱ）設直線l在變換M作用下得到了直線m：2x-y=4，求l的方程．
C．（選修4-4：坐標系與參數方程）
在極坐標系中，設圓ρ=3上的點到直線ρ(cosθ+

3

sinθ)=2的距離為d，求d的最大值．
D．（選修4-5：不等式選講）
設a，b，c為正數且a+b+c=1，求證：(a+

1

a

)2+(b+

1

b

)2+(c+

1

c

)2≥

100

3

．