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練習冊

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試題

(I)若圖象的最低點坐標, 【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

函數f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0，0＜?＜

π

2

）在一個周期內的圖象如圖所示，P（x₀，y₀）是圖象的最髙點，Q是圖象的最低點，M（3，0）是線段PQ與x軸的交點，且cos∠POM=

5

5

，|OP|=

5

．
（I）求出點P的坐標；
（Ⅱ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅲ）將函數y=f（x）的圖象向右平移2個單位后得到函數y=g（x）的圖象，試求函數h（x）=f（x）•g（x）的單調遞增區間．試求函數h（x）=f（x）•g（x）的單調遞增區間．

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（2009•浦東新區一模）對于函數f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在實數a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么稱h（x）為f₁（x），f₂（x）的生成函數．
（1）下面給出兩組函數，h（x）是否分別為f₁（x），f₂（x）的生成函數？并說明理由．
第一組：f1(x)=sinx，f2(x)=cosx，h(x)=sin(x+

π

3

)；
第二組：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1．
（2）設f1(x)=log2x，f2(x)=log

1

2

x，a=2，b=1，生成函數h（x）．若不等式h（4x）+t•h（2x）＜0在x∈[2，4]上有解，求實數t的取值范圍．
（3）設f1(x)=x(x＞0)，f2(x)=

1

x

(x＞0)，取a＞0，b＞0生成函數h（x）圖象的最低點坐標為（2，8）．若對于任意正實數x₁，x₂且x₁+x₂=1，試問是否存在最大的常數m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立？如果存在，求出這個m的值；如果不存在，請說明理由．

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（2012•湖南）函數f（x）=sin （ωx+φ）的導函數y=f′（x）的部分圖象如圖所示，其中，P為圖象與y軸的交點，A，C為圖象與x軸的兩個交點，B為圖象的最低點．
（1）若φ=

π

6

，點P的坐標為（0，

3

3

2

），則ω=

3

3

；
（2）若在曲線段

ABC

與x軸所圍成的區域內隨機取一點，則該點在△ABC內的概率為

π

4

π

4

．

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函數f（x）=sin （ωx+φ）的導函數y=f′（x）的部分圖象如圖所示，其中，P為圖象與y軸的交點，A，C為圖象與x軸的兩個交點，B為圖象的最低點．
（1）若φ=

，點P的坐標為（0，

），則ω= ；
（2）若在曲線段

與x軸所圍成的區域內隨機取一點，則該點在△ABC內的概率為．

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函數f（x）=sin （ωx+φ）的導函數y=f′（x）的部分圖象如圖所示，其中，P為圖象與y軸的交點，A，C為圖象與x軸的兩個交點，B為圖象的最低點．
（1）若φ=

，點P的坐標為（0，

），則ω= ；
（2）若在曲線段

與x軸所圍成的區域內隨機取一點，則該點在△ABC內的概率為．

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第I卷（選擇題共60分）

一、選擇題（每小題5分，共60分）

1―6ADDCAB 7―12CBBCBC

第Ⅱ卷（非選擇題共90分）

二、填空題（每小題4分，共16分）

13．2 14． 15． 16．①②

三、解答題（本大題共6小題，共74分）

17．解：（I）

4分

又 2分

（II）

2分

1分

3分

18．（I）證明：由題意可知CD、CB、CE兩兩垂直。

可建立如圖所示的空間直角坐標系

則 2分

由 1分

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又平面BDF，

平面BDF。 2分

（Ⅱ）解：設異面直線CM與FD所成角的大小為

。

即異面直線CM與FD所成角的大小為 3分

（III）解：平面ADF，

平面ADF的法向量為 1分

設平面BDF的法向量為

由

1分

1分

由圖可知二面角A―DF―B的大小為 1分

19．解：（I）設該小組中有n個女生，根據題意，得

解得n=6,n=4（舍去）

該小組中有6個女生。 6分

（Ⅱ）由題意，甲、乙、丙3人中通過測試的人數不少于2人，

即通過測試的人數為3人或2人。

記甲、乙、丙通過測試分別為事件A、B、C，則

6分

20．解：（I）的等差中項，

1分

。

2分

1分

（Ⅱ）

2分

3分

，

當且僅當時等號成立。

21．解：（I）到漸近線=0的距離為，兩條準線之間的距離為1，

3分

1分

（II）由題意，設

由 1分

3分

（III）由雙曲線和□ABCD的對稱性，可知A與C、B與D關于原點對稱。

而

1分

點O到直線的距離 1分

1分

1分

22．解：（I）當t=1時, 1分

當變化時，的變化情況如下表：

（-1，1）

1

（1，2）

―

0

+

極小值

由上表，可知當 2分

1分

（Ⅱ）

顯然的根。 1分

為使處取得極值，必須成立。

即有 2分

的個數是2。

（III）當時，若恒成立，

即 1分

①當時，

，

上單調遞增。

解得 1分

②當時，令

得（負值舍去）。

（i）若時，

上單調遞減。

1分

（ii）若

時，

當

上單調遞增，

要使，則

2分

（注：可證上恒為負數。）

綜上所述，t的取值范圍是。 1分

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