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已知函數的圖象過坐標原點O,且在點處的切線的斜率是.

（Ⅰ）求實數的值； 

（Ⅱ）求在區間上的最大值；

（Ⅲ）對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上？說明理由.

【解析】第一問當時，，則。

依題意得：，即    解得

第二問當時，，令得，結合導數和函數之間的關系得到單調性的判定，得到極值和最值

第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設，則，顯然

∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

（Ⅰ）當時，，則。

依題意得：，即    解得

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

①當時，，令得

當變化時，的變化情況如下表：

		0
	—	0	+	0	—
	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

又，，。∴在上的最大值為2.

②當時, .當時, ,最大值為0；

當時, 在上單調遞增。∴在最大值為。

綜上，當時，即時，在區間上的最大值為2；

當時，即時，在區間上的最大值為。

（Ⅲ）假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。

不妨設，則，顯然

∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴

即    （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；

若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.

若，則代入（*）式得：

即，而此方程無解，因此。此時，

代入（*）式得：    即   （**）

令 ，則

∴在上單調遞增，  ∵     ∴,∴的取值范圍是。

∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。

因此，對任意給定的正實數，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上

 

設定義在R的函數，R. 當時，取得極大值，且函數的圖象關于點對稱.

 （I）求函數的表達式；

 （II）判斷函數的圖象上是否存在兩點，使得以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標在區間上，并說明理由；

 （III）設，（），求證：.

設定義在R上的函數f（x）=ax³+bx²+cx，當時，f（x）取得極大值，并且函數y=f'（x）的圖象關于y軸對稱．
（1）求f（x）的表達式；
（2）若曲線C對應的解析式為，求曲線C過點P（2，4）的切線方程；
（3）（實）過點可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數m的取值范圍．

設定義在R上的函數f（x）=ax³+bx²+cx，當x=-時，f（x）取得極大值，并且函數y=f′（x）的圖象關于y軸對稱．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）若曲線C對應的解析式為，求曲線過點P（2，4）的切線方程．