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（2012•浦東新區一模）如圖所示，在平面直角坐標系xOy上放置一個邊長為1的正方形PABC，此正方形PABC沿x軸滾動（向左或向右均可），滾動開始時，點P位于原點處，設頂點P（x，y）的縱坐標與橫坐標的函數關系是y=f（x），x∈R，該函數相鄰兩個零點之間的距離為m．
（1）寫出m的值并求出當0≤x≤m時，點P運動路徑的長度l；
（2）寫出函數f（x），x∈[4k-2，4k+2]，k∈Z的表達式；研究該函數的性質并填寫下面表格：

函數性質	結  論
奇偶性	偶函數 偶函數
單調性	遞增區間	[4k，4k+2]，k∈z [4k，4k+2]，k∈z
	遞減區間	[4k-2，4k]，k∈z [4k-2，4k]，k∈z
零點	x=4k，k∈z x=4k，k∈z

（3）試討論方程f（x）=a|x|在區間[-8，8]上根的個數及相應實數a的取值范圍．

如圖，已知A₁，A₂分別為橢圓

y2

4

+

x2

3

=1的下頂點和上頂點，F為橢圓的下焦點，P為橢圓上異于A₁，A₂點的任意一點，直線A₁P，A₂P分別交直線l：y=m（m＜-2）于M，N點
（1）當點P位于y軸右側，且PF∥l時，求直線A₁M的方程；
（2）是否存在m值，使得以MN為直徑的圓過F點？若存在加以證明，若不存在，請說明理由；
（3）由（2）問所得m值，求線段MN最小值．