題目列表(包括答案和解析)
（本題滿分12分）
已知橢圓
的中心在坐標原點，焦點在
軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為
，最小值為
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線
與橢圓相交于
兩點（不是左右頂點），且以
為直徑的圓過橢圓的右頂點．求證：直線
過定點，并求出該定點的坐標．
（本題滿分12分）
已知橢圓
的中心在坐標原點，焦點在
軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為
，最小值為
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線
與橢圓相交于
兩點（不是左右頂點），且以
為直徑的圓過橢圓的右頂點．求證：直線
過定點，并求出該定點的坐標．
（本題滿分12分）
已知橢圓
的中心在原點，焦點在
軸上，左右焦點分別為
，且
，點
）在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）過
的直線
與橢圓相交于
、
兩點，且△
的面積
，求以
為圓心且與直線相切的圓的方程.
（本題滿分12分）
已知橢圓
的焦點在
軸上，中心在原點，離心率
，直線
和以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓
相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設橢圓的左、右頂點分別為
、
，點
是橢圓上異于、的任意一點，設直線
、
的斜率分別為
、
，證明
為定值；
（Ⅲ）設橢圓方程
，、為長軸兩個端點， 為橢圓上異于、的點， 、分別為直線、的斜率，利用上面（Ⅱ）的結論得
（ ）（只需直接寫出結果即可，不必寫出推理過程）．
（本題滿分12分）已知橢圓E：
（其中
），直 線L與橢圓只有一個公共點T；兩條平行于y軸的直線
分別過橢圓的左、右焦點F1、F2，且直線L分別相交于A、B兩點．
（Ⅰ）若直線L在
軸上的截距為
，求證： 直線L斜率的絕對值與橢圓E的離心率相等；（Ⅱ）若
的最大值為1200，求橢圓E的方程．
一.選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
B
A
C
D
D
D
A
B
A
A
二.填空題
13.4； 14. 
； 15.15； 16.
,
可以填寫任一實數.
三.解答題
17. （Ⅰ）列表：
2
6
10
14
0
1
3
1
1
描點作圖，得圖象如下.
6分
（Ⅱ）
所以,當
,即
時,函數
取得最小值
. 12分
18.由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學生人數分別為5、25和20．
（I）該班學生參加活動的人均次數為
=
． 6分
（II）從該班中任選兩名學生，他們參加活動次數恰好相等的概率為
．
12分
19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E是AD的中點，
∴△BAE，△CDDE是等腰直角三角形，
易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC
又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，
∴BE⊥面D′EC，又CD′
面D′EC，∴BE⊥CD′.
6分
（Ⅱ）法一：設M是線段EC的中點，過M作MF⊥BC
垂足為F，連接D′M，D′F，則D′M⊥EC
∵平面D′EC⊥平面BEC，
∴D′M⊥平面EBC，
∴MF是D′F在平面BEC上的射影，
由三垂線定理得：D′F⊥BC
∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.
在Rt△D′MF中，
∴
，
即二面角D′―BC―E的正切值為
.
12分
法二：如圖，以EB，EC為x軸，y軸，過E垂直于平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標系，
則
設平面BEC的法向量為
；平面D′BC的法向量為
由
取
∴
∴二面角D′―BC―E的正切值為.
12分
20．（I）
，
（II）
由（I）知
21（Ⅰ）設橢圓C的方程為
，則由題意知b = 1.
∴橢圓C的方程為
…………………………………………………6分
（Ⅱ）易知直線
的斜率為
，從而直線
的斜率為1.設直線的方程為
，代如橢圓的方程，并整理可得
.設
，則
，
.于是
解之得
或
.
當時，點
即為直線與橢圓的交點，不合題意.當時，經檢驗知和橢圓相交，符合題意.
所以，當且僅當直線的方程為
時, 點
是
的垂心. 12分
22.(Ⅰ)對一切
有
于是, 
(
) 5分
(Ⅱ)由
及
兩式相減,得: 
∴
. 10分
(Ⅲ) 由于
，
所以，
14分
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