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對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列A:a_1,a₂,…,a_n,定義變換T₁，T₁將數(shù)列A變換成數(shù)列T₁A．：n,a₁-1,a₂-1,…,a_n-1.

對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列B：b₁,b₂, …,b_m,定義變換T₂，T₂將數(shù)列B各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列T₂（B）：又定義

S（B）=2（b₁+2b₂+…+mb_m）+b²₁+b²₂+…+b²_m. 

設(shè)A₀是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令A_k+1=T₂(T₁(A_k))(k=0,1,2, …)

（Ⅰ）如果數(shù)列A₀為5，3，2，寫(xiě)出數(shù)列A₁,A₂；

（Ⅱ）對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A，證明S（T₁A．）=SA．；

（Ⅲ）證明：對(duì)于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列A₀，存在正整數(shù)K，當(dāng)k≥K時(shí)，S(A_k+1)=S(A_k).

對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列B：b₁,b₂, …,b_m,定義變換T₂，T₂將數(shù)列B各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列T₂（B）：又定義

S（B）=2（b₁+2b₂+…+mb_m）+b²₁+b²₂+…+b²_m.

設(shè)A₀是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令A_k+1=T₂(T₁(A_k))(k=0,1,2, …)

（Ⅰ）如果數(shù)列A₀為5，3，2，寫(xiě)出數(shù)列A₁,A₂；

（Ⅱ）對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A，證明S（T₁（A））=S（A）；

（Ⅲ）證明：對(duì)于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列A₀，存在正整數(shù)K，當(dāng)k≥K時(shí)，S(A_k+1)=S(A_k).

20．（本小題共13分）

對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列變換成數(shù)列

．

對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列；

又定義．

設(shè)是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令．

（Ⅰ）如果數(shù)列為5，3，2，寫(xiě)出數(shù)列；

（Ⅱ）對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列，證明；

（Ⅲ）證明對(duì)于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，．

（08年北京卷理）（本小題共13分）

對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列變換成數(shù)列

．

對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列；又定義

．

設(shè)是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令．

（Ⅰ）如果數(shù)列為5，3，2，寫(xiě)出數(shù)列；

（Ⅱ）對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列，證明；

（Ⅲ）證明：對(duì)于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，．

（08年北京卷理）（本小題共13分）

對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列變換成數(shù)列

．

對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列；又定義

．

設(shè)是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令．

（Ⅰ）如果數(shù)列為5，3，2，寫(xiě)出數(shù)列；

（Ⅱ）對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列，證明；

（Ⅲ）證明：對(duì)于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，．