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如圖，在三棱錐中，，，，．

（１）求證：；

       （２）求二面角的大小．

 

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一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1．D      2．A      3．B       4．D      5．B       6．C       7．C       8．B

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

9．           10．           11．5      10           12．            

13．②           14． 

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

15．（共13分）

解：（Ⅰ）

．

因為函數的最小正周期為，且，

所以，解得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

因為，

所以，

所以，

因此，即的取值范圍為．

16．（共14分）

解法一：

（Ⅰ）取中點，連結．

，

．

，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ），，

．

又，

．

又，即，且，

平面．

取中點．連結．

，．

是在平面內的射影，

．

是二面角的平面角．

在中，，，，

．

二面角的大小為．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，

平面平面．

過作，垂足為．

平面平面，

平面．

的長即為點到平面的距離．

由（Ⅰ）知，又，且，

平面．

平面，

．

在中，，，

．

．

點到平面的距離為．

解法二：

（Ⅰ），，

．

又，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ）如圖，以為原點建立空間直角坐標系．

則．

設．

，

，．

取中點，連結．

，，

，．

是二面角的平面角．

，，，

．

二面角的大小為．

（Ⅲ），

在平面內的射影為正的中心，且的長為點到平面的距離．

如（Ⅱ）建立空間直角坐標系．

，

點的坐標為．

．

點到平面的距離為．

17．（共13分）

解：（Ⅰ）記甲、乙兩人同時參加崗位服務為事件，那么，

即甲、乙兩人同時參加崗位服務的概率是．

（Ⅱ）記甲、乙兩人同時參加同一崗位服務為事件，那么，

所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務的概率是．

（Ⅲ）隨機變量可能取的值為1，2．事件“”是指有兩人同時參加崗位服務，

則．

所以，的分布列是

1

3

18．（共13分）

解：

．

令，得．

當，即時，的變化情況如下表：

0

當，即時，的變化情況如下表：

0

所以，當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，

在上單調遞減．

當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減．

當，即時，，所以函數在上單調遞減，在上單調遞減．

19．（共14分）

解：（Ⅰ）由題意得直線的方程為．

因為四邊形為菱形，所以．

于是可設直線的方程為．

由得．

因為在橢圓上，

所以，解得．

設兩點坐標分別為，

則，，，．

所以．

所以的中點坐標為．

由四邊形為菱形可知，點在直線上，

所以，解得．

所以直線的方程為，即．

（Ⅱ）因為四邊形為菱形，且，

所以．

所以菱形的面積．

由（Ⅰ）可得，

所以．

所以當時，菱形的面積取得最大值．

20．（共13分）

（Ⅰ）解：，

，

；

，

．

（Ⅱ）證明：設每項均是正整數的有窮數列為，

則為，，，，，

從而

．

又，

所以