題目列表(包括答案和解析)
已知橢圓
（a>b>0）,點
在橢圓上。
（I）求橢圓的離心率。
（II）設A為橢圓的右頂點，O為坐標原點，若Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|，求直線OQ的斜率的值。
【考點定位】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線的方程、平面內兩點間距離公式等基礎知識. 考查用代數方法研究圓錐曲線的性質，以及數形結合的數學思想方法.考查運算求解能力、綜合分析和解決問題的能力.
已知函數
其中a>0.
（I）求函數f(x)的單調區間；
（II）若函數f（x）在區間（-2，0）內恰有兩個零點，求a的取值范圍；
（III）當a=1時，設函數f（x）在區間[t,t+3]上的最大值為M（t），最小值為m（t）,記g(t)=M(t)-m(t),求函數g(t)在區間[-3，-1]上的最小值。
【考點定位】本小題主要考查導數的運算，利用導數研究函數的單調性、函數的零點，函數的最值等基礎知識.考查函數思想、分類討論思想.考查綜合分析和解決問題的能力.
已知函數
，（
），
（1）若曲線
與曲線
在它們的交點（1，c）處具有公共切線，求a,b的值
（2）當
時，若函數
在區間[k,2]上的最大值為28，求k的取值范圍
【解析】（1）
，
∵曲線與曲線在它們的交點（1，c）處具有公共切線
∴
，
∴
（2）當時，
，
，
令
，則
，令
，
∴
為單調遞增區間，
為單調遞減區間，其中F（-3）=28為極大值，所以如果區間[k,2]最大值為28，即區間包含極大值點
，所以
【考點定位】此題應該說是導數題目中較為常規的類型題目，考查的切線，單調性，極值以及最值問題都是課本中要求的重點內容，也是學生掌握比較好的知識點，在題目中能夠發現F（-3）=28，和分析出區間[k,2]包含極大值點，比較重要
設A是如下形式的2行3列的數表，
|
a |
b |
c |
|
d |
e |
f |
滿足性質P：a，b，c，d，e，f
，且a+b+c+d+e+f=0
記
為A的第i行各數之和（i=1,2）, 
為A的第j列各數之和（j=1,2,3）記
為
中的最小值。
（1）對如下表A，求的值
|
1 |
1 |
-0.8 |
|
0.1 |
-0.3 |
-1 |
(2)設數表A形如
|
1 |
1 |
-1-2d |
|
d |
d |
-1 |
其中
，求的最大值
（3）對所有滿足性質P的2行3列的數表A，求的最大值。
【解析】（1）因為
，
，所以
（2）
，
因為，所以
，
所以
當d=0時，取得最大值1
（3）任給滿足性質P的數表A（如圖所示）
|
a |
b |
c |
|
d |
e |
f |
任意改變A的行次序或列次序，或把A中的每個數換成它的相反數，所得數表
仍滿足性質P，并且
，因此，不妨設
，
，
由得定義知，
，
，
，
從而
所以，
，由（2）知，存在滿足性質P的數表A使
，故的最大值為1
【考點定位】此題作為壓軸題難度較大，考查學生分析問題解決問題的能力，考查學生嚴謹的邏輯思維能力
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B
二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）
9．
10．
11．5 10 12．
13．② 14．
三、解答題（本大題共6小題，共80分）
15．（共13分）
解：（Ⅰ）
．
因為函數
的最小正周期為
，且
，
所以
，解得
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
．
因為
，
所以
，
所以
，
因此
，即的取值范圍為
．
16．（共14分）
解法一：
（Ⅰ）取
中點
，連結
．
，
．
，
．
，
平面
．
平面，
．
（Ⅱ），
，
．
又
，
．
又
，即
，且
，
平面
．
取
中點
．連結
．
，
．
是
在平面內的射影，
．
是二面角
的平面角．
在
中，
，
，
，
．
二面角的大小為
．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知
平面，
平面
平面．
過
作
，垂足為
．
平面
平面
，
平面
．
的長即為點到平面的距離．
由（Ⅰ）知
，又，且
，
平面
．
平面，
．
在
中，
，
，
．
．
點到平面的距離為
．
解法二：
（Ⅰ），，
．
又，
．
，
平面．
平面，
．
（Ⅱ）如圖，以為原點建立空間直角坐標系
．
則
．
設
．
，
，
．
取中點，連結．
，
，
，
．
是二面角的平面角．
，
，
，
．
二面角的大小為
．
（Ⅲ）
，
在平面內的射影為正
的中心，且
的長為點到平面的距離．
如（Ⅱ）建立空間直角坐標系．
，
點的坐標為
．
．
點到平面的距離為．
17．（共13分）
解：（Ⅰ）記甲、乙兩人同時參加
崗位服務為事件
，那么
，
即甲、乙兩人同時參加崗位服務的概率是
．
（Ⅱ）記甲、乙兩人同時參加同一崗位服務為事件，那么
，
所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務的概率是
．
（Ⅲ）隨機變量
可能取的值為1，2．事件“
”是指有兩人同時參加崗位服務，
則
．
所以
，的分布列是
1
3
18．（共13分）
解：
．
令
，得
．
當
，即
時，
的變化情況如下表：
0
當
，即
時，的變化情況如下表：
0
所以，當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
在上單調遞減．
當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減．
當
，即
時，
，所以函數在上單調遞減，在上單調遞減．
19．（共14分）
解：（Ⅰ）由題意得直線
的方程為
．
因為四邊形
為菱形，所以
．
于是可設直線
的方程為
．
由
得
．
因為
在橢圓上，
所以
，解得
．
設兩點坐標分別為
，
則
，
，
，
．
所以
．
所以的中點坐標為
．
由四邊形為菱形可知，點在直線上，
所以
，解得
．
所以直線的方程為
，即
．
（Ⅱ）因為四邊形為菱形，且
，
所以
．
所以菱形的面積
．
由（Ⅰ）可得
，
所以
．
所以當
時，菱形的面積取得最大值
．
20．（共13分）
（Ⅰ）解：
，
，
；
，
．
（Ⅱ）證明：設每項均是正整數的有窮數列為
，
則
為
，
，
，
，
，
從而
．
又
，
所以
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