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（本題滿分12分）
【小題1】（1）如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點,P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點．若∠AMN=90°，求證：AM=MN．
下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．
證明：在邊AB上截取AE=MC，連ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，
AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN­—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB
=∠MAE．
（下面請你完成余下的證明過程）

【小題2】（2）若將(1)中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2）,N是∠ACP的平分線上一點，則當∠AMN=60°時，結論AM=MN是否還成立？請說明理由．

【小題3】（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正邊形ABCD…X”，請你作出猜想：當∠AMN=        °時，結論AM=MN仍然成立．（直接寫出答案，不需要證明）

（本題滿分6分）如圖2，正方形網格中，△ABC為格點三角形（頂點都是格
點），將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉90°得到．
（1）在正方形網格中，作出；（不要求寫作法）
（2）設網格小正方形的邊長為1cm，求線段AB所掃過的圖形的面積．（結果保留）

（本題滿分6分）等腰△ABC，AB=AC=８，∠BAC=120°，P為BC的中點，小亮拿著30⁰角的透明三角板，使30⁰角的頂點落在點P，三角板繞P點旋轉．
（1）如圖a，當三角板的兩邊分別交AB、AC于點E、F時．求證：△BPE∽△CFP；
（2）操作：將三角板繞點P旋轉到圖b情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點E、F．
①探究１：△BPE與△CFP還相似嗎？
②探究２：連結EF，△BPE與△PFE是否相似？請說明理由；
③設EF=m，△EPF的面積為S，試用m的代數式表示S．