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如圖1，在等腰梯形ABCO中，AB∥CO，E是AO的中點，過點E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.現把梯形ABCO放置在平面直角坐標系中，使點O與原點重合，OC在x軸正半軸上，點A，B在第一象限內．
（1）求點E的坐標及線段AB的長；
（2）點P為線段EF上的一個動點，過點P作PM⊥EF交OC于點M，過M作MN∥AO交折線ABC于點N，連結PN,設PE=x.△PMN的面積為S.
①求S關于x的函數關系式；
②△PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請說明理由.若存在，求出面積的最大值；

（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC.現在開始操作：固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個單位的速度沿OC方向向右移動，直到點D與點C重合時停止（如圖2）.設運動時間為t秒，運動后的直角梯形為E′D′G′H′（如圖3）;試探究：在運動過程中，等腰梯ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積y與時間t的函數關系式.

如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中點，過點E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.現把梯形ABCO放置在平面直角坐標系中，使點O與原點重合，OC在x軸正半軸上，點A、B在第一象限內。
（1）  求點E的坐標；
（2）  點P為線段EF上的一個動點，過點P作PM⊥EF交OC于點M，過M作MN∥AO交折線ABC于點N，
連結PN。設PE=x.△PMN的面積為S。
① 求S關于x的函數關系式；
② △PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請說明理由。若存在，求出面積的最大值；
（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC）。現在開始操作：固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個單位的速度沿OC方向向右移動，直到點D與點C重合時停止（如圖2）。設運動時間為t秒，運動后的直角梯形為E′D′G′H′;探究：在運動過程中，等腰梯形ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積y與時間t的函數關系式。

如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CO，E是AO的中點，過點E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.現把梯形ABCO放置在平面直角坐標系中，使點O與原點重合，OC在x軸正半軸上，點A、B在第一象限內。

（1）   求點E的坐標；

（2）   點P為線段EF上的一個動點，過點P作PM⊥EF交OC于點M，過M作MN∥AO交折線ABC于點N，

連結PN。設PE=x.△PMN的面積為S。

①  求S關于x的函數關系式；

②  △PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請說明理由。若存在，求出面積的最大值；

（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC）。現在開始操作：固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個單位的速度沿OC方向向右移動，直到點D與點C重合時停止（如圖2）。設運動時間為t秒，運動后的直角梯形為E′D′G′H′;探究：在運動過程中，等腰梯形ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積y與時間t的函數關系式。

如圖1，在等腰梯形ABCO中，AB∥CO，E是AO的中點，過點E作EF∥OC交BC于F，AO=4，OC=6，∠AOC=60°.現把梯形ABCO放置在平面直角坐標系中，使點O與原點重合，OC在x軸正半軸上，點A，B在第一象限內．

（1）求點E的坐標及線段AB的長；

（2）點P為線段EF上的一個動點，過點P作PM⊥EF交OC于點M，過M作MN∥AO交折線ABC于點N，連結PN,設PE=x.△PMN的面積為S.

①求S關于x的函數關系式；

②△PMN的面積是否存在最大值，若不存在，請說明理由.若存在，求出面積的最大值；

（3）另有一直角梯形EDGH（H在EF上，DG落在OC上，∠EDG=90°，且DG=3，HG∥BC.現在開始操作：固定等腰梯形ABCO，將直角梯形EDGH以每秒1個單位的速度沿OC方向向右移動，直到點D與點C重合時停止（如圖2）.設運動時間為t秒，運動后的直角梯形為E′D′G′H′（如圖3）;試探究：在運動過程中，等腰梯ABCO與直角梯形E′D′G′H′重合部分的面積y與時間t的函數關系式.