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（1）求二次函數的解析式及頂點P的坐標；
（2）如圖1，在直線y=2x上是否存在點D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，點M是線段OP上的一個動點（O、P兩點除外），以每秒個單位長度的速度由點P向點O運動，過點M作直線MN∥x軸，交PB于點N，將△PMN沿直線MN對折，得到△P₁MN，在動點M的運動過程中，設△P₁MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運動時間為t秒，求S關于t的函數關系式。

（1）求這個二次函數的解析式；
（2）直線交y軸于D點，E為拋物線頂點。若求的值；
（3）在（2）問的前提下，P為拋物線對稱軸上一點，且滿足PA=PC，在y軸右側的拋物線上是否存在點M，使得的面積等于PA²，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由。