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如圖，正方形ABCD邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直．
（1）求證：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）若MN的延長線交正方形外角平分線CP于點P，當點M在BC邊上如圖位置時，請你在AB邊上找到一點H，使得AH=MC，連接HM，進而判斷AM與PM的大小關系，并說明理由；
（3）若BM=1，則梯形ABCN的面積為；設BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數關系式；當M點運動到什么位置時，四邊形ABCN的面積最大，并求出最大面積；
（4）當M點運動到什么位置時Rt△ABM∽Rt△AMN，求此時BM的值．

如圖，正方形ABCD邊長為2，AB∥x軸，AD∥y軸，頂點A恰好落在雙曲線y=

1

2x

上，邊CD、BC分別交雙曲線于點E、F，若線段AE過原點，則△AEF的面積為（　　）

A．1

B． 5 4

C． 7 6

D． 4 3

如圖，正方形ABCD邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個動點，當M點在BC上運動時，保持AM和MN垂直．
（1）求證：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）若MN的延長線交正方形外角平分線CP于點P，當點M在BC邊上如圖位置時，請你在AB邊上找到一點H，使得AH=MC，連接HM，進而判斷AM與PM的大小關系，并說明理由；
（3）若BM=1，則梯形ABCN的面積為（     ）；設BM=x，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數關系式；當M點運動到什么位置時，四邊形ABCN的面積最大，并求出最大面積；
（4）當M點運動到什么位置時Rt△ABM∽Rt△AMN，求此時BM的值．