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如圖，在梯形中，∥，過(guò)對(duì)角線的中點(diǎn)作，分別交邊于點(diǎn)，連接．

（1）求證：四邊形是菱形；

（2）若，，求四邊形的面積．

如圖，在梯形中，，過(guò)對(duì)角線的中點(diǎn)作，分別交邊于點(diǎn)，連接．

(1）求證：四邊形是菱形；

(2）若，，求四邊形的面積．

如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，過(guò)對(duì)角線AC的中點(diǎn)O作EF⊥AC，分別交邊AB、CD于點(diǎn)E、F，連接CE、AF．
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）若EF=4，tan∠OAE=

2

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，求四邊形AECF的面積．

如圖①，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠ABC=90°，∠DAB=60°，AD=2，CD=4．另有一直角三角形EFG，∠EFG=90°，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，點(diǎn)F在AB上，讓△EFG的邊EF在AB上，點(diǎn)G在DC上，以每秒1個(gè)單位的速度沿著AB方向向右運(yùn)動(dòng)，如圖②，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）在上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)分別寫出當(dāng)四邊形FBCG為正方形和四邊形AEGD為平行四邊形時(shí)對(duì)應(yīng)時(shí)刻t的值或范圍；
（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)A垂直于AB的直線為y軸，建立如圖③所示的坐標(biāo)系．求過(guò)A，D，C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）探究：延長(zhǎng)EG交（2）中的拋物線于點(diǎn)Q，是否存在這樣的時(shí)刻t使得△ABQ的面積與梯形ABCD的面積相等？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．