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如圖，已知P為∠AOB的邊OA上的一點，以P為頂點的∠MPN的兩邊分別交射線OB于M、N兩點，且∠MPN=∠AOB=α（α為銳角）．當∠MPN以點P為旋轉中心，PM邊與PO重合的位置開始，按逆時針方向旋轉（∠MPN保持不變）時，M、N兩點在射線OB上同時以不同的速度向右平行移動．設OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面積為S．若sinα=

3

2

，OP=2．
（1）當∠MPN旋轉30°（即∠OPM=30°）時，求點N移動的距離；
（2）求證：△OPN∽△PMN；
（3）寫出y與x之間的關系式；
（4）試寫出S隨x變化的函數關系式，并確定S的取值范圍．

如圖，已知P為∠AOB的邊OA上的一點，且OP=2．以P為頂點的∠MPN的兩邊分別交射線OB于M，N兩點，且∠MPN=∠AOB=60°．當∠MPN以點P為旋轉中心，PM邊與PO重合的位置開始，按逆時針方向旋轉（∠MPN保持不變）時，M，N兩點在射線OB上同時以不同的速度向右平行移動．設OM=x，ON=y（y＞x＞0），△POM的面積為S．
（1）判斷：△OPN與△PMN是否相似，并說明理由；
（2）寫出y與x之間的關系式；
（3）試寫出S隨x變化的函數關系式，并確定S的取值范圍．

如圖，在半徑為r的半圓⊙O中，半徑OA⊥直徑BC，點E、F分別在弦AB、AC上滑動并保持AE=CF，但點F不與A、C重合，點E不與A、B重合．
（1）求證：S_{四邊形AEOF}=

1

2

r²；
（2）設AE=x，S_△OEF=y，寫出y與x之間的函數關系式及自變量x的范圍；
（3）當S_△OEF=

5

18

S_△ABC時，求點E、F分別在AB、AC上的位置及EF的長．

如圖，已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD=9，∠B=90°，BC=3

5

，tanA=

5

，P、Q分別是邊AB、CD上的動點（點P不與點A、點B重合），且有BP=2CQ．
（1）求AB的長；
（2）設CQ=x，四邊形PADQ的面積為y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）以C為圓心、CQ為半徑作⊙C，以P為圓心、以PA的長為半徑作⊙P．當四邊形PADQ是平行四邊形時，試判斷⊙C與⊙P的位置關系，并說明理由．