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如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A、B的坐標分別為（6，0），（6，8）．動點M、N分別從O、B同時出發，以每秒1個單位的速度運動．其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動．過點N作NP⊥BC，交AC于P，連接MP．已知動點運動了x秒．
（1）P點的坐標為多少；（用含x的代數式表示）
（2）試求△MPA面積的最大值，并求此時x的值；
（3）請你探索：當x為何值時，△MPA是一個等腰三角形？你發現了幾種情況？寫出你的研究成果．

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A，B的坐標分別為（4，0），（4，3），動點M，N分別從O，B同時出發．以每秒1個單位的速度運動．其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動．過點M作MP⊥OA，交AC于P，連接NP，已知動點運動了x秒．
（1）P點的坐標為多少（用含x的代數式表示）；
（2）試求△NPC面積S的表達式，并求出面積S的最大值及相應的x值；
（3）當x為何值時，△NPC是一個等腰三角形？簡要說明理由．

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為直角梯形，點A、B、C的坐標分別為（2，6），（8，6），（8，0）．動點F、D分別從O、B同時出發，以每秒1個單位的速度運動．其中，點F沿OC向終點C運動，點D沿BA向終點A運動．其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動．過點D作DE⊥AB，交OB于E，連接EF．已知動點運動了x秒．
（1）x的取值范圍為多少？
（2）E點的坐標為；（用含x的代數式表示）
（3）試求△OFE面積的最大值，并求此時x的值．
（4）請你探索：△OFE能否成為以OF為底邊的等腰三角形？如能請求出x的值．

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A，B的坐標分別為（4，0），（4，3），動點M，N分別從O，B同時出發．以每秒1個單位的速度運動．其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動．過點M作MP⊥OA，交AC于P，連接NP，已知動點運動了x秒．
（1）P點的坐標為（，）（用含x的代數式表示）；
（2）試求△NPC面積S的表達式，并求出面積S的最大值及相應的x值；
（3）設四邊形OMPC的面積為S₁，四邊形ABNP的面積為S₂，請你就x的取值范圍討論S₁與S₂的大小關系并說明理由；
（4）當x為何值時，△NPC是一個等腰三角形？

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為正方形，E點在x軸的正半軸上運動，點F在CB邊上，且∠OAE=∠FAE
在圖①中，E點在OC邊上，CE=

1

2

OC，若延長AE、BC相交于點H，由∠OAE=∠FAE和AO∥BC，易知∠FAE=∠H，得AF=HF；由于E為OC中點，AO∥BC，可得△AOE≌△HCE，有AO=CH，又因AO=OC，可得CH=OC，所以有AF=CF+OC
（1）若E點在OC邊上，CE=

1

3

OC，（如圖②）請探索AF、FC、OC三條線段之間的數量關系，并證明你的結論；
（2）若E點在OC邊上，CE=

1

n

OC（n是大于1的整數），請直接寫出AF、FC、OC之間的數量關系（不要求證明）；
（3）若A點的坐標為（0，6），E點在x軸的正半軸上運動，點F在直線CB上，且∠OAE=∠FAE；當AF和CF相差2個單位長度時，試求出此時E點的坐標．