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已知：如圖(1)，在平行四邊形ABCD中，對角線CA⊥BA，AB＝AC＝8cm，四邊形A₁B₁C₁D₁是平行四邊形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉45°得到的，A₁D₁經過點C，B₁C₁分別與AB、BC相交于點P、Q．
（1）求四邊形CD₁C₁Q的周長；(保留無理數，下同)
（2）求兩個平行四邊形重合部分的四邊形APQC的面積S；
（3）如圖(2)，將平行四邊形A₁B₁C₁D₁以每秒1cm的速度向右勻速運動，當運動到B₁C₁在直線AC上時停止運動．設運動的時間為x（秒），兩個平行四邊形重合部分的面積為y（cm²）．求y關于x的函數關系式，并探索是否存在一個時刻x，使得y取最大值，若存在，請你求出這個最大值；若不存在，請你說明理由．