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如圖，在直四棱柱中，為中點，點在上。(1)試確定點的位置，使；(2)當時，求二面角的正切值。

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在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱AB和BC的中點，EF與BD交于點G。
（1）求二面角B₁-EF-B的正切值；
（2）M為棱BB₁上的一點，當的值為多少時能使D₁M⊥平面EFB₁？試給出證明。

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一、選擇題(5分×12=60分)   

    B  B  D  D  C  B  B  D  D  C  A  A

二、填空題(4分x 4=16分)

13．80  14．32  15．  16．①③

三、解答題(12分×5+14分=74分)

17．解：(1)2分

        ……………………4分

         ∴的最小正周期為 …………………6分

(2)∵成等比數列   ∴  又

∴  ……………………………………4分

又∵     ∴       ……………………………………………………10分

  ……………………………………12分

18．解：(1)設公差由成等比數列得 …………………1分

∴即 ∴舍去或     …………………………3分

∴           ………………………………………………4分

∴ ………………………………………………6分

(2) ∵               ………………………………………………7分

∴…①      …………8分

 …………②       …………9分

①-②得：

∴                ………………………………………………12分

19．解：(1)記“任取2張卡片，將卡片上的函數相加得到偶函數”為事件A，

                ……………………………………………………4分

(2)設符合題設條件，抽取次數恰為3的事件記為B，則

        ………………………………………………12分

20．解：(1)連結    為正△ …1分

                                       面3分

面面          

即點的位置在線段的四等分點且靠近處  ………………………………………6分

(2)過作于，連

由(1)知面(三垂線定理)

∴為二面角的平面角……9分

在中，

在中，

∴二面角的大小為     ………………………………………12分

(說明：若用空間向量解，請參照給分)

21．解：(1) 由得 ……2分

①當時，在內是增函數，故無最小值………………………3分

②當時，

在處取得極小值    ………………………5分

由                     解得：≤  ∴≤ …………6分

≥

(2)由(1)知在區間上均為增函數

又，故要在內為增函數

        ≤           ≥

必須：                或                    ………………………………………10分

        ≤        ≤ 

∴≤或≥  ∴實數的取值范圍是：…………………12分

22．解：(1)如圖，設為橢圓的下焦點，連結

∴ ∵∴…3分

∵  ∴ ………4分

∴的離心率為

 …………………………………………………………6分

(2)∵，∴拋物線方程為：設點則 ∵

∴點處拋物線的切線斜率 ……………………………………………………8分

則切線方程為：……………………………………………………9分

又∵過點  ∴  ∴  ∴

代入橢圓方程得：    ……………………………………………………11分

∴≥  ………………13分

當且僅當                 即           上式取等號

∴此時橢圓的方程為：       ………………………………………………14分