題目列表(包括答案和解析)
設函數
的定義域為D，若存在非零實數h使得對于任意
，有
，且
，則稱為M上的“h階高調函數”。給出如下結論：
①若函數在R上單調遞增，則存在非零實數h使為R上的“h階高調函數”；
②若函數為R上的“h階高調函數”，則在R上單調遞增；
③若函數
為區間
上的“h階高誣蔑財函數”，則
④若函數在R上的奇函數，且
時，
只能是R上的“4階高調函數”。
其中正確結論的序號為 （ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
已知函數
的圖象過坐標原點O,且在點
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實數
的值；
（Ⅱ）求
在區間
上的最大值；
（Ⅲ）對任意給定的正實數
，曲線
上是否存在兩點P、Q，使得
是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在
軸上？說明理由.
【解析】第一問當
時，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問當
時，
，令
得
，結合導數和函數之間的關系得到單調性的判定，得到極值和最值
第三問假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。
不妨設
，則
，顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
（Ⅰ）當時，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當時，，令得
當
變化時，
的變化情況如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
。∴在
上的最大值為2.
②當
時, 
.當
時, 
,最大值為0；
當
時, 在
上單調遞增。∴在最大值為
。
綜上，當
時，即
時，在區間上的最大值為2；
當
時，即
時，在區間上的最大值為。
（Ⅲ）假設曲線上存在兩點P、Q滿足題設要求，則點P、Q只能在軸兩側。
不妨設，則，顯然
∵是以O為直角頂點的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設要求的兩點P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設要求的兩點P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無解，因此
。此時
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對任意給定的正實數，曲線上存在兩點P、Q，使得是以O為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上
已知函數
在區間[0，1]上單調遞增，在區間[1，2]上單調遞減。
（1）求
的值；
（2）若斜率為24的直線是曲線
的切線，求此直線方程；
（3）是否存在實數b，使得函數
的圖象與函數
的圖象恰有2個不同交點？若存在，求出實數b的值；若不存在，試說明理由.
已知函數
在區間
上為增函數，且
。
（1）當
時，求
的值；
（2）當
最小時，
①求
的值；
②若
是
圖象上的兩點，且存在實數
使得
，證明：
。
一、選擇題.(單項選擇,5×12=60分.答案涂在答題卡上的相應位置.)
1.C 2. A 3. B 4. B 5. B 6. B 7. A 8. C 9.D 10. B 11.D 12. B
二、填空題.( 5×4=20分,答案寫在答題紙的相應空格內.)
13．
14．②④⑤ 15．
16．11
三、解答題.（12×5+10=70分,答案寫在答題紙的答題區內.）
17．（Ⅰ）∵ m?n
……… 2分
∴
，解得
……… 6分
（Ⅱ）
……… 8分
∵
，∴
………10分
∴
的值域為[
] ………12分
18．（Ⅰ）把一根長度為8的鐵絲截成3段，且三段的長度均為整數，共有21種解法．
(可視為8個相同的小球放入3個不同盒子，有
種方法) … 3分
其中能構成三角形的情況有3種情況：“2，3，
則所求的概率是
……… 6分
（Ⅱ）根據題意知隨機變量
……… 8分
∴
……12分
19．（Ⅰ）∵點A、D分別是
、
的中點，∴
. …… 2分
∴∠
=90º.∴
.∴ 
,
∵
,∴
⊥平面
. ……… 4分
∵
平面,∴
. ……… 5分
（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標系
．
則
（－1，0，0），
（－2，1，0），
（0，0，1）.
∴
=（－1，1，0），
=（1，0，1）, …6分
設平面
的法向量為
=（x，y，z），則：
，
……… 8分
令
，得
，∴=（1，1，－1）
顯然，
是平面
的一個法向量，=（
）． ………10分
∴cos<，>=
．
∴二面角
的平面角的余弦值是
.
………12分
20．（Ⅰ）
……… 4分
（Ⅱ）由橢圓的對稱性知：PRQS為菱形，原點O到各邊距離相等……… 5分
⑴當P在y軸上時，易知R在x軸上，此時PR方程為
，
． ……… 6分
⑵當P在x軸上時，易知R在y軸上，此時PR方程為，
． ……… 7分
⑶當P不在坐標軸上時，設PQ斜率為k，
、
P在橢圓上，
.......①；R在橢圓上，
....
②利用Rt△POR可得 
……… 9分
即 
整理得 
． ………11分
再將①②帶入，得
綜上當
時，有． ………12分
21．（Ⅰ）
時，
單調遞減，
當
單調遞增。
①若
無解；
②若
③若
時，
上單調遞增，
；
所以
……… 4分
（Ⅱ）
則
設
則
時，
單調遞減，
單調遞增，
所以
因為對一切
恒成立，所以
； ……… 8分
（Ⅲ）問題等價于證明
，
由（Ⅰ）可知
當且僅當
時取到，設
則
，當且僅當時取到，
從而對一切
成立． ………12分
22．（Ⅰ）連接OC，∵OA=OB，CA=CB ∴OC⊥AB∴AB是⊙O的切線 … 5分
（Ⅱ）∵ED是直徑，∴∠ECD=90°∴∠E+∠EDC=90°
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，∴∠BCD=∠E
又∵∠CBD+∠EBC，∴△BCD∽△BEC ∴
∴BC2=BD•BE
∵tan∠CED=
,∴
∵△BCD∽△BEC, ∴
設BD=x,則BC=2 又BC2=BD•BE，∴(2x)2=x•(x+6)
解得x1=0,x2=2, ∵BD>0, ∴BD=2∴OA=OB=BD+OD=3+2=5 … 10分
23．（Ⅰ）
… 5分
（Ⅱ）
… 10分
23．（Ⅰ）
，
… 5分
（Ⅱ）
… 10分
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單調遞減