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已知橢圓C中心在原點、焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點的最大值為3，最小值為1．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N（M、N不是左、右頂點），且以MN為直徑的圓經過橢圓的右頂點A．求證：直線l過定點，并求出定點的坐標．

已知A、B分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右兩個焦點，O為坐標原點，點P（-1，

2

2

）在橢圓上，線段PB與y軸的交點M為線段PB的中點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）點C是橢圓上異于長軸端點的任意一點，對于△ABC，求

sinA+sinB

sinC

的值．

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，其中F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點，M是C₁與C₂在第一象限的交點，且|MF₂|=

5

3

．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）已知菱形ABCD的頂點A，C在橢圓C₁上，對角線BD所在的直線的斜率為1．
①當直線BD過點（0，

1

7

）時，求直線AC的方程；
②當∠ABC=60°時，求菱形ABCD面積的最大值．

已知橢圓C₁的方程為

x2

4

+y²=1，雙曲線C₂的左、右焦點分別為C₁的左、右頂點，而C₂的左、右頂點分別是C₁的左、右焦點．
（Ⅰ）求雙曲線C₂的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+

2

與橢圓C₁及雙曲線C₂都恒有兩個不同的交點，且l與C₂的兩個交點A和B滿足

OA

•

OB

＜6（其中O為原點），求k的取值范圍．

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，其中F₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點，M是C₁與C₂在第一象限的交點，且|MF2|=

5

3

（I）求橢圓C₁的方程；   
（Ⅱ）已知菱形ABCD的頂點A、C在橢圓C₁上，頂點B、D在直線7x-7y+1=0上，求直線AC的方程．