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（本小題滿分12分）

    已知橢圓的左、右兩個焦點分別為F₁、F₂，離心率為，且拋物線與橢圓C₁有公共焦點F₂（1，0）。

   （1）求橢圓和拋物線的方程；

   （2）設A、B為橢圓上的兩個動點，，過原點O作直線AB的垂線OD，垂足為D，求點D為軌跡方程。

 

已知Ａ、B是圓上滿足條件的兩個點，其中O是坐標原點，分別過A、B作軸的垂線段，交橢圓于點，動點P滿足.（1）求動點P的軌跡方程；（2）設S₁和S₂分別表示和的面積，當點P在x軸的上方，點A在x軸的下方時，求的最大值。

 

設A、B分別為雙曲線的左右頂點，雙曲線的實軸長為，焦點到漸近線的距離為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線與雙曲線的右支交于M、N兩點，且在雙曲線的右支上存在點D，使，求t的值及點D的坐標．

如圖，設A，B分別為橢圓的右頂點和上頂點，過原點O作直線交線段AB于點M（異于點A，B），交橢圓于C，D兩點（點C在第一象限內），△ABC和△ABD的面積分別為S₁與S₂．
（1）若M是線段AB的中點，直線OM的方程為，求橢圓的離心率；
（2）當點M在線段AB上運動時，求的最大值．