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如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.

【解析】解法一：如圖，以點A為原點建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設平面PCD的法向量，

則,即.不防設，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設點E的坐標為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因為，故過點B作CD的平行線必與線段AD相交，設交點為F，連接BE，EF. 故或其補角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

（本小題滿分14分）

如圖，已知橢圓過點（1，），離心率為 ，左右焦點分別為.點為直線：上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為和為坐標原點.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）設直線、斜率分別為.

（ⅰ）證明：

（ⅱ )問直線上是否存在一點，使直線的斜率滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由.

 如圖，已知橢圓過點（1，），離心率為 ，左右焦點分別為．點為直線：上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為和為坐標原點．

    （Ⅰ） 求橢圓的標準方程；

   （Ⅱ）設直線、斜率分別為．

證明：

（ⅱ）問直線上是否存在一點，

使直線的斜率

滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由．

如圖，已知橢圓過點，離心率為，左、右焦點分別為、．點為直線上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為、和、，為坐標原點．設直線、的斜率分別為、．

（i）證明：；

（ii）問直線上是否存在點，使得直線、、、的斜率、、、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由．

如圖，已知橢圓過點.，離心率為，左、右焦點分別為、.點為直線上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為、和、，為坐標原點.

（I）求橢圓的標準方程；

（II）設直線、的斜線分別為、.      證明：