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在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每題10分，共計20分．
A、如圖，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上．求證：PE是⊙O的切線．
B、設M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸壓變換．
（1）求矩陣M的特征值及相應的特征向量；
（2）求逆矩陣M^-1以及橢圓

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲線的方程．
C、已知某圓的極坐標方程為：ρ2-4

2

ρcos(θ-

π

4

)+6=0．
（Ⅰ）將極坐標方程化為普通方程；并選擇恰當的參數寫出它的參數方程；
（Ⅱ）若點P（x，y）在該圓上，求x+y的最大值和最小值．
D、若關于x的不等式|x+2|+|x-1|≥a的解集為R，求實數a的取值范圍．

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在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每題10分，共計20分．
A、如圖，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上．求證：PE是⊙O的切線．
B、設M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸壓變換．
（1）求矩陣M的特征值及相應的特征向量；
（2）求逆矩陣M^-1以及橢圓在M^-1的作用下的新曲線的方程．
C、已知某圓的極坐標方程為：．
（Ⅰ）將極坐標方程化為普通方程；并選擇恰當的參數寫出它的參數方程；
（Ⅱ）若點P（x，y）在該圓上，求x+y的最大值和最小值．
D、若關于x的不等式|x+2|+|x-1|≥a的解集為R，求實數a的取值范圍．

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選做題在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，共計20分．
A選修4-1：幾何證明選講
如圖，延長⊙O的半徑OA到B，使OA=AB，DE是圓的一條切線，E是切點，過點B作DE的垂線，垂足為點C．
求證：∠ACB=

1

3

∠OAC．
B選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=

.

1 1 2 1

.

，向量

β

=

1 2

．求向量

a

，使得A²

a

=

β

．
C選修4-3：坐標系與參數方程
已知橢圓C的極坐標方程為ρ²=

a

3cos2θ+4sin2θ

，焦距為2，求實數a的值．
D選修4-4：不等式選講
已知函數f（x）=（x-a）²+（x-b）²+（x-c）²+

(a+b+c)2

3

（a，b．c為實數）的最小值為m，若a-b+2c=3，求m的最小值．

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[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題紙的指定區域內．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點，BC=4，過C作圓的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點E，求線段AE的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
已知二階矩陣A有特征值λ₁=3及其對應的一個特征向量α1=

1 1

，特征值λ₂=-1及其對應的一個特征向量α2=

1 -1

，求矩陣A的逆矩陣A^-1．
C．（選修4-4：坐標系與參數方程）
以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系（兩種坐標系中取相同的單位長度），已知點A的直角坐標為（-2，6），點B的極坐標為(4，

π

2

)，直線l過點A且傾斜角為

π

4

，圓C以點B為圓心，4為半徑，試求直線l的參數方程和圓C的極坐標方程．
D．（選修4-5：不等式選講）
設a，b，c，d都是正數，且x=

a2+b2

，y=

c2+d2

．求證：xy≥

(ac+bd)(ad+bc)

．

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[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題紙的指定區域內．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
過圓O外一點P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB=7，∠ABP=∠ABC，C是圓上一點使得BC=5，求線段AB的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
求曲線C：xy=1在矩陣

2 2 - 2 2 2 2 2 2

對應的變換作用下得到的曲線C′的方程．
C．（選修4-4：坐標系與參數方程）
已知曲線C₁：

x=3cosθ y=2sinθ

（θ為參數）和曲線C₂：ρsin（θ-

π

4

）=

2

．
（1）將兩曲線方程分別化成普通方程；
（2）求兩曲線的交點坐標．
D．（選修4-5：不等式選講）
已知|x-a|＜

c

4

，|y-b|＜

c

6

，求證：|2x-3y-2a+3b|＜c．

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一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．）

1．       2．1    3．－2     4．      5． （1）（2）

6． 4    7．甲       8．    9．9      10．

11．－2       12．       13．2       14． 2

二、解答題：（本大題共6小題,共90分．）

15．（本小題滿分14分）

解：（1）∵

∴        …………………………………………5分

（2）∵∴

…………………………………………7分

         ……………………………………9分

或或7                   ………………………………14分

16．（本小題滿分14分）

(1)證明：E、P分別為AC、A′C的中點，

        EP∥A′A，又A′A平面AA′B，EP平面AA′B

       ∴即EP∥平面A′FB                  …………………………………………5分

(2) 證明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC

   ∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC

     BC平面A′BC

   ∴平面A′BC⊥平面A′EC             …………………………………………9分

(3)證明：在△A′EC中，P為A′C的中點，∴EP⊥A′C，

  在△A′AC中，EP∥A′A，∴A′A⊥A′C

      由(2)知：BC⊥平面A′EC   又A′A平面A′EC

      ∴BC⊥AA′

      ∴A′A⊥平面A′BC                   …………………………………………14分

17．（本小題滿分15分）

解：（1）取弦的中點為M，連結OM

由平面幾何知識，OM=1

                   …………………………………………3分

解得：，               ………………………………………5分

∵直線過F、B ，∴則     …………………………………………6分

（2）設弦的中點為M，連結OM

則

              ……………………………………9分

解得                       …………………………………………11分

∴                    …………………………………………15分

（本題也可以利用特征三角形中的有關數據直接求得）

18．（本小題滿分15分）

（1）延長BD、CE交于A，則AD=，AE=2

     則S_△ADE= S_△BDE= S_△BCE=

      ∵S_△APQ=，∴

      ∴             …………………………………………7分

（2）

          =?

…………………………………………12分

    當，

即，            

…………………………………………15分

19．（本小題滿分16分）

解（1）證：       由  得

在上點處的切線為，即

又在上點處切線可計算得，即

∴直線與、都相切，且切于同一點（）      …………………5分

（2）

      …………………7分

   ∴在上遞增

   ∴當時……………10分

（3）

設上式為 ，假設取正實數，則?

當時，，遞減；

當，，遞增． ……………………………………12分

∴不存在正整數，使得

即                  …………………………………………16分

20．（本小題滿分16分）

解：（1），

，對一切恒成立

的最小值，又 ，

                       …………………………………………4分

（2）這5個數中成等比且公比的三數只能為

只能是，

      …………………………8分

，顯然成立             ……………………………………12分

當時，，

使不等式成立的自然數n恰有4個的正整數p值為3

                          ……………………………………………16分

泰州市2008～2009學年度第二學期期初聯考

高三數學試題參考答案

附加題部分

21．（選做題）（從A，B，C，D四個中選做2個，每題10分，共20分．）

A．解：(1)

∴

∴AB=CD                            ……………………………………4分

（2）由相交弦定理得

2×1=(3+OP)(3-OP)

∴，∴               ……………………………………10分

B．解：依題設有：     ………………………………………4分

 令，則           …………………………………………5分

           …………………………………………7分

  ………………………………10分

C．解：以有點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．（1），，由得．

所以．

即為圓的直角坐標方程．  ……………………………………3分

同理為圓的直角坐標方程． ……………………………………6分

（2）由　　　　　　

相減得過交點的直線的直角坐標方程為． …………………………10分

D．證明：（1）因為

    所以          …………………………………………4分

    （2）∵   …………………………………………6分

    同理，，……………………………………8分

    三式相加即得……………………………10分

22．（必做題）（本小題滿分10分）

解：（1）記“恰好選到1個曾經參加過數學研究性學習活動的同學”為事件的, 則其概率為                …………………………………………4分

    答：恰好選到1個曾經參加過數學研究性學習活動的同學的概率為

（2）隨機變量

                        ……………………5分

                   …………………………6分

                  ………………………………7分

∴隨機變量的分布列為

2

3

4

P

∴                    …………………………10分

23．（必做題）（本小題滿分10分）

（1），，，

，

              ……………………………………3分

（2）平面BDD₁的一個法向量為

設平面BFC₁的法向量為

∴

取得平面BFC₁的一個法向量

∴所求的余弦值為                     ……………………………………6分

（3）設（）

，由得

即，

當時，

當時，∴   ……………………………………10分