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在數列{an}中，已知a1=1，Sn是數列{an}的前n項和，且對任意正整數n，Sn+1=4an+2．
（I）令bn=an+1-2an（n=1，2，…），證明{bn}是等比數列，并求{bn}的通項公式；
（II）令f（x）=xln（1+x）-a（x+1），為數列{
1
log2cn+2•log2cn+1
}的前n項和，求
lim
n→∞
Tn．
分析：（I）利用數列的前n項和與數列的項的關系將已知條件中的和與項的遞推關系轉化為項間的遞推關系，求出
bn+1
bn
的值，利用等比數列的定義得證，再利用等比數列的通項公式求出通項．
（II）先求出{cn}的通項，代入
1
log2cn+2•log2cn+1
中，利用裂項相消法求出和Tn，利用基本函數的極限值求出極限．
解答：解（I）an+1=Sn+1-Sn=4（an-an-1）①
∵bn=an+1-2an
∴bn+1=an+2-2an+1
由①得bn+1=4（an+1-an）-2an+1=2（an+1-2an）
∴
bn+1
bn
=
2(an+1-2an)
an+1-2an
=2
∴bn}是公比為2的等比數列
∵b1=a2-2a1=3
∴bn=3×2n-1
（II）∵Cn=
bn
3
=2n-1
∴
1
log2cn+2•log2cn+1
=
1
n(n+1)

∴Tn=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1
)=1-
1
n+1

∴
lim
n→∞
Tn=
lim
n→∞
(1-
1
n+1
)=1
點評：解決數列中和與項的遞推關系的問題，也不是仿寫等式關系，相減利用和與項的關系轉化為僅有項的關系；求數列的前n項和關鍵是判斷出數列通項的特點，再選擇合適的公式．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在數列{an}中，已知a1=
1
4
，
an+1
an
=
1
4
，bn+2=3log 
1
4
an（n∈N*）．
（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；
（Ⅱ）求證：數列{bn}是等差數列；
（Ⅲ）設cn=
3
bn•bn+1
，Sn是數列{cn}的前n項和，求使Sn＜
m
20
對所有n∈N*都成立的最小正整數m．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在數列{an}中，已知a1=1，an+1=
an1+2an
(n∈N+)．
（1）求a2，a3，a4，并由此猜想數列{an}的通項公式an的表達式；
（2）用適當的方法證明你的猜想．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在數列{an}中，已知a1=1，a2=2，且an+2等于an•an+1的個位數（n∈N*），若數列{an}的前k項和為2011，則正整數k之值為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•淮南二模）在數列{an}中，已知an≥1，a1=1，且an+1-an=
2
an+1+an-1
，n∈N+．
（1）記bn=（an-
1
2
）2，n∈N+，求證：數列{bn}是等差數列；
（2）求{an}的通項公式；
（3）對?k∈N+，是否總?m∈N+使得an=k？若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在數列{an}中，已知a1=
7
2
，an=3an-1+3n-1（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）計算a2，a3；
（Ⅱ）求證：{
an-
1
2
3n
}是等差數列；
（Ⅲ）求數列{an}的通項公式an及其前n項和Sn．

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同步練習冊答案
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