題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱ABC―A1B1C1中，∠ACB = 90°. AC = BC = a，
D、E分別為棱AB、BC的中點， M為棱AA1上的點，二面角M―DE―A為30°.
（1）求MA的長；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求點C到平面MDE的距離。
(本小題滿分12分)某校高2010級數學培優學習小組有男生3人女生2人，這5人站成一排留影。
（1）求其中的甲乙兩人必須相鄰的站法有多少種? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
（2）求其中的甲乙兩人不相鄰的站法有多少種?
（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少種 ?
(本小題滿分12分)
某廠有一面舊墻長14米,現在準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形,面積為126平方米的廠房,工程條件是①建1米新墻費用為a元；②修1米舊墻的費用為
元；③拆去1米舊墻,用所得材料建1米新墻的費用為
元,經過討論有兩種方案: (1)利用舊墻的一段x米（x＜14）為矩形廠房一面的邊長；(2)矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14.問如何利用舊墻,即x為多少米時,建墻費用最省?(1)、(2)兩種方案哪個更好?
(本小題滿分12分)
已知a,b是正常數, a≠b, x，y
(0,＋∞).
(1)求證:
≥
,并指出等號成立的條件；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 
(2)利用(1)的結論求函數
的最小值,并指出取最小值時相應的x 的值.
(本小題滿分12分)
已知a＝(1,2), b＝(－2,1),x＝a＋
b，y=－ka＋
b (k
R).
(1)若t=1,且x∥y,求k的值；
(2)若tR ＋，x?y＝5,求證k≥1.
一、選擇題：本大題主要考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
A
B
C
D
C
B
D
二、填空題：本大題主要考查基本知識和基本運算．本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只能選做一題．
11．
12．
13．
14．
15．2
說明：第14題答案可以有多種形式，如可答
或
Z）等, 均給滿分.
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16．(本小題滿分12分)
解：（1）∵
.
6分
∴
.
8分
(2) 當
時, 
取得最大值, 其值為2 . ……………………10分
此時
，即
Z
. ……………………12分
17. (本小題滿分12分)
解:(1) 由頻率分布條形圖知,抽取的學生總數為
人. ………… 3分
∵各班被抽取的學生人數成等差數列,設其公差為
,
由
=100,解得
. …………………………………… 6分
∴各班被抽取的學生人數分別是22人，24人，26人，28人. …… 8分
(2) 在抽取的學生中,任取一名學生, 則分數不小于90分的概率為0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. ………………………………12分
18．(本小題滿分14分)
解：（1）∵ 
⊥平面
，
平面，
∴
⊥.
………………………………………………2分
∵
⊥
，
，
∴
⊥平面
， ……………………………………………………4分
∵
平面，
∴
⊥. …………………………………………………………6分
（2）法1: 取線段
的中點
，
的中點
，連結
,
則
是△
中位線.
∴∥
，
， …………………………8分
∵
，
，
∴
.
∴
四邊形
是平行四邊形， …………………………10分
∴ 
.
∵ 
平面
，
平面，
∴ ∥平面. …………………………………… 13分
∴
線段的中點是符合題意要求的點． ……………………………………14分
法2: 取線段的中點，的中點，連結
,
則是△的中位線.
∴∥，
， …………………………8分
∵
平面, 
平面,
∴
平面.
∵
，，
∴
.
∴
四邊形
是平行四邊形， ……………………………………10分
∴ 
.
∵ 
平面，
平面，
∴ ∥平面
.
∵
,
∴平面
平面.……………………………………………………12分
∵
平面
,
∴∥平面.
∴
線段的中點是符合題意要求的點．……………………………… 14分
19. (本小題滿分14分)
解:(1)依題意知,
…………………………………………2分
∵
,
∴
. ………………………………………… 5分
∴所求橢圓
的方程為
. …………………………………………6分
（2）∵ 點
關于直線
的對稱點為
，
∴ 
解得：
，
.
…………………………8分
∴
.
……………………………10分
∵
點在橢圓:上,
∴
, 則
.………………………………………………12分
∴
的取值范圍為
. …………………………………………14分
20. (本小題滿分14分)
(1) 解：當
時，
.
……………………………………1分
當
時，
.
…………………………………………4分
∵
不適合上式,
∴
………………………………………………………5分
（2）證明: ∵
.
當
時，
………………………………………………6分
當時，
,
①
. ②
①－②得:
得
， …………………………………………10分
此式當時也適合.
∴
N
.
∵
，
∴
.
…………………………………………………11分
當時，
，
∴
.
∵
，
∴
.
故
，即
. ……………………………………………13分
綜上，
．
………………………………14分
21. (本小題滿分14分)
解：（1）當
時，
，
∴
.
令=0, 得 
.
………………………………………………2分
當
時,
, 則
在
上單調遞增;
當
時,
, 則在
上單調遞減;
當
時,, 在
上單調遞增.
…………………………2分
∴ 當
時, 取得極大值為
;…………………………4分
當
時, 取得極小值為
. ………………………6分
（2） ∵ = 
，
∴△= 
= 
.
① 若a≥1，則△≤0，
∴≥0在R上恒成立，
∴ f（x）在R上單調遞增 .
∵f（0）
，
,
∴當a≥1時，函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點． ……………………9分
② 若a＜1，則△＞0，
∴= 0有兩個不相等的實數根，不妨設為x1，x2，（x1<x2）．
∴x1+x2 = 2，x1x2 = a．
當
變化時，
的取值情況如下表：
x
x1
（x1，x2）
x2
+
0
－
0
+
f（x）
ㄊ
極大值
ㄋ
極小值
ㄊ
∵
,
∴
.
∴
.
同理
.
∴
.
令f（x1）?f（x2）＞0, 解得a＞
．
而當
時,
,
故當時, 函數f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點.
綜上所述，a的取值范圍是
．
……………………………………14分
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