題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)f(x)=ex-ax，其中a＞0.
（1）若對(duì)一切x∈R，f(x) 
1恒成立，求a的取值集合；
（2)在函數(shù)f(x)的圖像上去定點(diǎn)A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈（x1,x2）,使
恒成立.
【解析】解：
令
.
當(dāng)
時(shí)
單調(diào)遞減；當(dāng)
時(shí)
單調(diào)遞增，故當(dāng)
時(shí)，
取最小值
于是對(duì)一切
恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)
. ①
令
則
當(dāng)
時(shí)，
單調(diào)遞增；當(dāng)
時(shí)，
單調(diào)遞減.
故當(dāng)
時(shí)，
取最大值
.因此，當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)，①式成立.
綜上所述，
的取值集合為
.
（Ⅱ）由題意知，
令
則
令
，則
.當(dāng)
時(shí)，
單調(diào)遞減；當(dāng)
時(shí)，
單調(diào)遞增.故當(dāng)
，
即
從而
，
又
所以
因?yàn)楹瘮?shù)
在區(qū)間
上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在
使
即成立.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運(yùn)算能力，考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)方法.第一問利用導(dǎo)函數(shù)法求出取最小值對(duì)一切x∈R，f(x) 1恒成立轉(zhuǎn)化為
從而得出求a的取值集合；第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理，然后把問題歸結(jié)為一個(gè)方程是否存在解的問題，通過構(gòu)造函數(shù)，研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.
| ax |
| 1+ax |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| A、{-1，0} |
| B、{0} |
| C、{-1} |
| D、{-1，0，1} |
| ax |
| 1+ax |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
已知數(shù)列
是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為d，
為其前n項(xiàng)和，且滿足
,
．?dāng)?shù)列
滿足
,，
為數(shù)列的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式
和數(shù)列的前n項(xiàng)和；
（2）若對(duì)任意的，不等式
恒成立，求實(shí)數(shù)
的取值范圍；
（3）是否存在正整數(shù)
，使得
成等比數(shù)列？若存在，求出所有的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】第一問利用在
中，令n=1，n=2，
得
即
解得
，，
[
又時(shí)，
滿足，
，
第二問，①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要使不等式
恒成立，即需不等式
恒成立．
，等號(hào)在n=2時(shí)取得．
此時(shí)
需滿足
．
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式
恒成立．
是隨n的增大而增大， n=1時(shí)取得最小值-6．
此時(shí) 需滿足
．
第三問
，
若
成等比數(shù)列，則
，
即． 
由，可得
，即
，
． 
（1）（法一）在中，令n=1，n=2，
得 即
解得，， [
又時(shí)，滿足，
，
．
（2）①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．
，等號(hào)在n=2時(shí)取得．
此時(shí) 需滿足．
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．
是隨n的增大而增大， n=1時(shí)取得最小值-6．
此時(shí) 需滿足．
綜合①、②可得的取值范圍是．
（3），
若成等比數(shù)列，則，
即．
由，可得，即，
．
又
，且m>1，所以m=2，此時(shí)n=12．
因此，當(dāng)且僅當(dāng)m=2，
n=12時(shí)，數(shù)列
中的成等比數(shù)列
已知函數(shù)
的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且在點(diǎn)
處的切線的斜率是
.
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)
的值；
（Ⅱ）求
在區(qū)間
上的最大值；
（Ⅲ）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)
，曲線
上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得
是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在
軸上？說明理由.
【解析】第一問當(dāng)
時(shí)，
，則
。
依題意得：
，即
解得
第二問當(dāng)
時(shí)，
，令
得
，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間的關(guān)系得到單調(diào)性的判定，得到極值和最值
第三問假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)
，則
，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴
即
（*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，則。
依題意得：，即 解得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
①當(dāng)時(shí)，，令得
當(dāng)
變化時(shí)，
的變化情況如下表：
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
|
|
極小值 |
單調(diào)遞增 |
極大值 |
|
又
，
，
�！�在
上的最大值為2.
②當(dāng)
時(shí), 
.當(dāng)
時(shí), 
,最大值為0；
當(dāng)
時(shí), 在
上單調(diào)遞增�！�在最大值為
。
綜上，當(dāng)
時(shí)，即
時(shí)，在區(qū)間上的最大值為2；
當(dāng)
時(shí)，即
時(shí)，在區(qū)間上的最大值為。
（Ⅲ）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在軸兩側(cè)。
不妨設(shè)，則，顯然
∵是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴
即 （*）若方程（*）有解，存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q；
若方程（*）無解，不存在滿足題設(shè)要求的兩點(diǎn)P、Q.
若
，則
代入（*）式得：
即
，而此方程無解，因此
。此時(shí)
，
代入（*）式得： 
即
（**）
令
，則
∴
在
上單調(diào)遞增， ∵ ∴
,∴
的取值范圍是
。
∴對(duì)于，方程（**）總有解，即方程（*）總有解。
因此，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)P、Q，使得是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上
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單調(diào)遞減