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一條雙曲線

x2

4

-y2=1的左、右頂點分別為A₁，A₂，點M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁）是雙曲線上不同的兩個動點．
（1）求直線A₁M與A₂N交點的軌跡E的方程式；
（2）設直線l與曲線E相交于不同的兩點A，B，已知點A的坐標為（-2，0），若點Q（0，y₀）在線段AB的垂直平分線上，且

QA

•

QB

=4．求y₀的值．

若圓C過點M（0，1）且與直線l：y=-1相切，設圓心C的軌跡為曲線E，A、B為曲線E上的兩點，點P(0，t)(t＞0)，且滿足

AP

=λ

PB

(λ＞1)．
（I）求曲線E的方程；
（II）若t=6，直線AB的斜率為

1

2

，過A、B兩點的圓N與拋物線在點A處共同的切線，求圓N的方程；
（III）分別過A、B作曲線E的切線，兩條切線交于點Q，若點Q恰好在直線l上，求證：t與

QA

•

QB

均為定值．