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定義在（0，+∞）的函數，其中e=2.71828…是自然對數的底數，a∈R．
（1）若函數f（x）在點x=1處連續，求a的值；
（2）若函數f（x）為（0，1）上的單調函數，求實數a的取值范圍，并判斷此時函數f（x）在（0，+∞）上是否為單調函數；
（3）當x∈（0，1）時，記g（x）=lnf（x）+x²-ax，試證明：對n∈N^*，當n≥2時，有．

定義在（0，+∞）的函數，其中e=2.71828…是自然對數的底數，a∈R．
（1）若函數f（x）在點x=1處連續，求a的值；
（2）若函數f（x）為（0，1）上的單調函數，求實數a的取值范圍，并判斷此時函數f（x）在（0，+∞）上是否為單調函數；
（3）當x∈（0，1）時，記g（x）=lnf（x）+x²-ax，試證明：對n∈N^*，當n≥2時，有．

設函數f（x）=lnx+aln（2-x）．
（Ⅰ）求函數f（x）的定義域及其導數f'（x）；
（Ⅱ）當a≥-1時，求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）當a=1時，令g（x）=f（x）+mx（m＞0），若g（x）在（0，1]上的最大值為

1

2

，求實數m的值．

設函數f（x）=x²-2（-1）^klnx（k∈N₊）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）設函數g(x)=2bx-

1

x2

在（0，1]上是增函數，且對于（0，1]內的任意實數x₁，x₂當k為偶數時，恒有f（x₁）≥g（x₂）成立，求實數b的取值范圍；
（Ⅲ）當k是偶數時，函數h(x)=f′(x)-x+

3

x

，求證：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N₊）．